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1、2019-2020年高三数学知识点精析精练19轨迹方程的求法【复习要点】求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点。求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义
2、法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.【例题】【例1】已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.解：建立坐标系如图所示，设
3、AB
4、=2a,则A(－a,0）
5、,B(a,0).设M(x,y)是轨迹上任意一点.则由题设，得=λ,坐标代入，得=λ,化简得(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0(1)当λ=1时，即
6、MA
7、=
8、MB
9、时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴).(2)当λ≠1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0.点M的轨迹是以(－，0)为圆心，为半径的圆.【例1】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设AB的中点为R，坐标为(x,
10、y)，则在Rt△ABP中，
11、AR
12、=
13、PR
14、.又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，
15、AR
16、2=
17、AO
18、2－
19、OR
20、2=36－(x2+y2)又
21、AR
22、=
23、PR
24、=所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.【例2】设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点
25、以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有①②③④⑤①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)若x1≠x2,则有⑥①×②,得y12·y22=16p2x1x2③代入上式有y1y2=－16p2⑦⑥代入④，得⑧⑥代入⑤，得所以即4px－y12=y(y1+y2)－y12－y1y2⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程.故点M
26、的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.解法二：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b由OM⊥AB，得k=－由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0所以x1x2=,消x,得ky2－4py+4pb=0所以y1y2=，由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2所以=－,b=－4kp故y=kx+b=k(x－4p),用k=－代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆
27、心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.【例1】某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r,则
28、PA
29、+
30、PO
31、=1+r+1.5－r=2.5∴点P在以A、O为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为=1①同理P也在以O、B为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为(x－
32、)2+y2=1②由①、②可解得，∴r=故所求圆柱的直径为cm.【例1】已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为，且双曲线上动点P到点A（2，0）的最近距离为1．（1）证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在y轴上；（2）求此双曲
