2019_2020学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版

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1、3.2.1　单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时　函数的单调性知识点一　定义域为I的函数f(x)的单调性　定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1

2、函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接.如函数y＝在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．[教材解难]1．教材P77思考f(x)＝

3、x

4、在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增；f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P77思考(1)不能　例如反比例函数f(x)＝－，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f(x)＝x2

5、在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有(　　)①若x1，x2∈I，当x1B．m－D．m<－解析：使y＝(2m－1)x＋b在

6、R上是减函数，则2m－1<0，即m<.答案：B3．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是(　　)A．[0，＋∞)B．(－∞，0)C.D.解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一　利用函数图象求单调区间[经典例题]例1　已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为(　　)　　A．(－3,1)∪(1,4)B．(－5，－3)∪(－1

7、,1)C．(－3，－1)，(1,4)D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】　在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】　C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1　函数f(x)的图象如图所示，则(　　)　　　　　　A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函

8、数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二　函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2　根据定义证明函数y＝x＋在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】　∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x11，x2>1.所以x1x2>1，x1x2－1>0.又由x1

9、任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x10，x1＋1>0，x2＋1>0.∴>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．∴y＝在(－1，＋∞)上是减函数．利用四步证明函数的单调性．题型三　由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3　已

10、知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．【解析】　∵f(x)＝x2－2(