2019_2020学年高中数学第三章函数的概念与性质3.3幂函数讲义新人教A版

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1、3．3　幂函数最新课程标准：通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.知识点一　幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．　幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量．知识点二　幂函数的图象与性质函数y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝定义域RRR{x

2、x≥0}{x

3、x≠0}值域R{y

4、y≥0}R{y

5、y≥0}{y

6、y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上递增在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递

7、增在R上递增在(0，＋∞)上递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上递减图象过定点(0,0)，(1,1)(1,1)　幂函数在区间(0，＋∞)上，当α>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数．[教材解难]　教材P90思考通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．[基础自测]1．在函数y＝，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(　　)A．0　　　　　　　　　　　B．1C．2D．3解析：函数y＝＝x－4为幂函数

8、；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．答案：B2．幂函数f(x)的图象过点(3，)，则f(8)＝(　　)A．8B．6C．4D．2解析：设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，由函数的图象过点(3，)，可得＝3α，∴α＝，则幂函数f(x)＝x，∴f(8)＝8＝4.答案：C3．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，则m＝(　　)A．1B．2C．1

9、或2D．3解析：∵幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1为偶函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝1时，幂函数f(x)＝x2为偶函数，满足条件．当m＝2时，幂函数f(x)＝x3为奇函数，不满足条件．故选A.答案：A4．判断大小：0.20.2________0.30.2.解析：因为函数y＝x0.2是增函数，又0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2.答案：<题型一　幂函数的概念[经典例题]例1　(1)下列函数：①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋

10、1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂函数的个数为(　　)A．1　　　　　　　　B．2C．3D．4(2)若函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，则m的值为(　　)A.1B．－3C．－1D．3(3)已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)＝_____.【解析】　(1)②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数．(2)因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以所以m＝1.(3)设

11、f(x)＝xα，所以＝3α，α＝－2，所以f(4)＝4－2＝.【答案】　(1)B　(2)A　(3)(1)依据幂函数的定义逐个判断．(2)依据幂函数的定义列方程求m.(3)先设f(x)＝xα，再将点(3，)代入求α.方法归纳(1)幂函数的判断方法①幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种“形式定义”的函数，也就是说必须完全具备形如y＝xα(α∈R)的函数才是幂函数．②如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理，再对照幂函数的定义进行判断．(2)求幂函数解析式的依据及常用

12、方法①依据．若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件．②常用方法．设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α.跟踪训练1　(1)给出下列函数：①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝0.3x.其中是幂函数的有(　　)A.1个B．2个C．3个D．4个(2)函数f(x)＝(m2－m－1)·x是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解析：(1)可以对照幂函数的定义进行判断．在所给出的

13、六个函数中，只有y＝＝x－3和y＝＝x符合幂函数的定义，是幂函数，其余四个都不是幂函数．(2)根据幂函数定义得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．故f(x)＝x3.答案：(1)B　(2)f(x)＝x3(1)利用幂函数定义判断．(2)由幂函数的系数为1，求m的值，然后逐一验证．题型二　幂函数的图象及应用[经典例题]例2　幂函数y＝xm，