2019_2020学年高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.2函数的最值讲义新人教A版

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1、第2课时函数的最值知识点函数的最大值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值(maximumvalue)．最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.[教材解难]1．教材P80思考函数f(x)的最大值包含“最大”和“值”两方面的含义．“最大”是指没有比它更大的，“值”是指一定是函数值．以f(x)＝－x2为例

2、，画出其图象(图略)可以发现：所有函数值都不大于1，但1不是f(x)的某个函数值，因而1不是f(x)的最大值；存在x0使f(x0)＝－1，即－1是f(x)的某个函数值，但－1不是f(x)的函数值中最大的，因此也不是f(x)的最大值．两项要求均满足的函数值只能是0，即函数f(x)＝－x2的最大值为0.2．教材P80思考一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥m；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝m.那么，我们称m是函数y＝f(x)的最小值(

3、minimumvalue)[基础自测]1．函数f(x)＝在[1，＋∞)上()A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值解析：函数f(x)＝是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A2．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为()A．3,5B．－3,5C．1,5D．－5,3解析：因为f(x)＝－2x

4、＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.答案：B3．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A．f(－2)，0B．0,2C．f(－2)，2D．f(2)，2解析：由图象知点(1,2)是最高点，故ymax＝2.点(－2，f(－2))是最低点，故ymin＝f(－2)．答案：C4．函数f(x)＝2x2－4x＋4有最________值，为________．解析：f(x)＝2x2－4x＋4＝2(x2－2x

5、＋1)＋2＝2(x－1)2＋2答案：小2题型一图象法求函数的最值[经典例题]例1如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．【解析】观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值，最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值，最小值是－2.观察函数图象，最高点坐标(3,3)，最低点(－1.5，－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1已知函数y＝－x－1＋2，画出函数的图象，确定函数的最值

6、情况，并写出值域．解析：y＝－x－1＋2＝图象如图所示．由图象知，函数y＝－x－1＋2的最大值为2，没有最小值，所以其值域为(－∞，2]．利用x的不同取值先去绝对值，再画图．题型二利用单调性求函数的最大(小值)[教材P81例5]例2已知函数f(x)＝(x∈[2,6])，求函数的最大值和最小值．【解析】∀x1，x2∈[2,6]，且x10，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)

7、．所以，函数f(x)＝在区间[2,6]上单调递减．因此，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x＝2时取得最大值，最大值是2；在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.由函数f(x)＝(x∈[2,6])的图象(如图)可知，函数f(x)＝在区间[2,6]上单调递减．所以，函数f(x)＝在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.教材反思1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性

8、的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.跟踪训练2已知函数f(x)＝，求函数f(x)在[1,5]上的最值．解析：先证明函数f(x)＝的单调性，设x1，x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，