2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.2函数的最大(小)值学案新人教A版.docx

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1、第2课时 函数的最大(小)值1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.1.最大值(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①∀x∈I,都有f(x)≤M;②∃x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标.2.最小值(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①∀x∈I,都有f(x)≥M;②∃x0∈I

2、,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标.温馨提示:(1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素.(2)并不是每一个函数都有最值,如函数y=,既没有最大值,也没有最小值.(3)最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值.1.函数y=f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,试指出此函数的最小值、最大值和相应的x的值.[答案] f(x)的最小值为-1,此时x=-2;f(x)的最大值为2,此时x=12.判

3、断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)任何函数都有最大值或最小值.(  )(2)函数的最小值一定比最大值小.(  )(3)函数f(x)=-x在[2,3)上的最大值为-2,无最小值.(  )(4)函数最大值对应图象中的最高点,且该点只有一个.(  )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×题型一图象法求函数的最大(小)值【典例1】 (1)已知函数f(x)=求f(x)的最大值、最小值;(2)画出函数f(x)=的图象,并写出函数的单调区间,函数的最小值.[思路导引] 作出函数f(x)的图象

4、,结合图象求解.[解] (1)作出函数f(x)的图象(如图1).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1;当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值为1,最小值为0.(2)f(x)的图象如图2所示,f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和[0,+∞),函数的最小值为f(0)=-1.图象法求最大(小)值的步骤[针对训练]1.利用图象求下列函数的最大值和最小值.(1)y=-,x∈[1,3];(2)y=

5、x+1

6、-

7、x-2

8、.[解] (1)作出函数图象如右图所示,该函数的

9、图象既有最高点,也有最低点(1,-2),所以函数y=-,x∈[1,3]有最大值-,最小值-2;(2)y=

10、x+1

11、-

12、x-2

13、=作出函数的图象,由右图可知,y∈[-3,3].所以函数的最大值为3,最小值为-3.题型二利用单调性求函数的最大(小)值【典例2】 已知函数f(x)=x+.(1)证明:f(x)在(1,+∞)内是增函数;(2)求f(x)在[2,4]上的最值.[解] (1)证明:设∀x1,x2∈(1,+∞),且x1x1

14、>1,∴x1-x2<0,又∵x1x2>1,∴x1x2-1>0,故(x1-x2)·<0,即f(x1)

15、(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b]上是减函数,在区间[b,c)上是增函数,则函数y=f(x),x∈(a,c)在x=b处有最小值f(b).(3)如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则在区间[a,b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值.[针对训练]2.已知函数f(x)=,x∈[2,5],判断函数f(x)的单调性,并求函数f(x)的最大值和最小值.[解] 任取2≤x1

16、-x2<0,x2-1>0,x1-1>0,∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)

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