2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.2.1函数奇偶性的概念学案新人教A版.docx

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1、第1课时　函数奇偶性的概念1．理解函数奇偶性的定义．2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．函数的奇偶性温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)．(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．1．函数f(x)＝x2－1，f(x)＝－，f(x)＝2x的图象分别如图所示：(1)各个图象有怎样的对称性？(2)对于以上三个函数，分别计算f(－x)，观察对定义域内的每一个x，f(－x)与f(x)有怎样的

2、关系？[答案]　(1)y＝x2－1的图象关于y轴对称；y＝－和y＝2x的图象关于原点对称(2)对于f(x)＝x2－1，f(－x)＝x2－1＝f(x)；对于f(x)＝－，f(－x)＝－＝－f(x)；对于f(x)＝2x，f(－x)＝－2x＝－f(x)2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象一定与y轴相交．(　　)(2)奇函数的图象一定经过原点．(　　)(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．(　　)(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√题型一函数奇偶性

3、的判断【典例1】　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－

4、x

5、；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝[思路导引]　借助奇函数、偶函数的定义判断．[解]　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－

6、－x

7、＝2－

8、x

9、＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x

10、x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)

11、∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法(2)图象法[针对训练]1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝

12、x＋1

13、－

14、x－1

15、；(3)f(x)＝；(4)f(x)＝[解]　(1)∵x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(

16、x)为偶函数．(2)∵x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝

17、－x＋1

18、－

19、－x－1

20、＝

21、x－1

22、－

23、x＋1

24、＝－(

25、x＋1

26、－

27、x－1

28、)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(4)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.题型二奇函数、偶函数的图象【典例2】　已

29、知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．[思路导引]　根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解．[解]　(1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．[变式]　若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．[解]　因为函数f(x)是偶函数，所以y＝

30、f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．[针对训练]2．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．[解]　(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．(2)观察图象，知f(3)