广东肇庆高中数学第一章1.3.1函数的单调性与导数1学案

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1、1.3.1函数的单调性与导数（1）一、学习要求1．理解函数的单调性与导数的关系；2．掌握利用导数判断函数单调性的方法；能利用导数求函数的单调区间。二、先学后讲1.函数的单调性与其导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减；如果恒有，那么函数在这个区间内为常函数。（函数的单调性的充分条件）【要点说明】设函数在某个区间内可导，如果在该区间上为单调增（或递减），则在该区间内（或）。（函数的单调性的必要条件）2．利用导数判断或证明函数的单调性的思路方法利用导数判

2、断或证明函数的单调性的实质就是证明不等式或恒成立。第一步：求出函数的导数；第二步：判断函的导数在给定区间上的正负。这时，一般先对导函数进行整理、化简、变形，然后根据不等式的相关知识，在给定区间上判断导数的正负，最后作出结论。3．求函数的单调区间的步骤：第一步：确定函数的定义域；第二步：求出函数的导数；第三步：解不等式或，求出函数的单调区间。三、问题探究■合作探究例1．求证：函数在其定义域上是单调递减函数。证明：函数的定义域上是：；，当时，，∴，∴函数在其定义域上是单调递减函数。例2．函数的单调区间。解：∵

3、，函数的定义域是；∴；由且，解得；由且，解得，∴函数的单调递增区间是；单调递减区间是。■自主探究1．求函数单调区间。解：∵，，∴，由，解得或；由，解得，∴函数的单调递增区间是，；单调递减区间是。四、总结提升本节课你主要学习了。五、问题过关1.求函数的单调区间。解：∵，，∴，由即，解得或；由即，解得，∴函数的单调递增区间是，；单调递减区间是。2.设，则的单调增区间是（）。（答案：）．．．．【解析】由，且，解得。3.求证：函数在区间内是减函数。证明：∵，∴，当时，，，∴，∴函数在区间内是减函数。