广东高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数学案

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1、1.3.1　函数的单调性与导数【学习目标】：结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．【能力目标】：1．能利用导数研究函数的单调性.2．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．【重点、难点】：单调性与导数，单调性证明不等式【学法指导】:结合函数图象(几何直观)探讨归纳函数的单调性与导函数正负之间的关系，体会数形结合思想，以直代曲思想.【学习过程】一．课前预习教材P22-26二．知识要点一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递___f′(x)<0单调递____f′(x)＝0常函数三．【问题探究】探究点一

2、　函数的单调性与导函数正负的关系问题1　观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？4问题2　若函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，那么f′(x)一定大于零吗？问题3　（1）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么如何表示这些区间？试写出问题1中(4)的单调区间．（2）函数的单调区间与其定义域满足什么关系？例1　已知导函数f′(x)的下列信息：当10；当x>4或x<1时，f′(x)<0；当x＝4或x＝1时，f′(x)＝0.试画出函数f(x)图象的大致形状．跟踪训练1　函数y＝f(x)的图象如图所示，试画出导函数f

3、′(x)图象的大致形状．例2　求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x3－4x2＋x－1；（2）f(x)＝2x(ex－1)－x2；（3）f(x)＝3x2－2lnx.跟踪训练2　求下列函数的单调区间：（1）f(x)＝x2－lnx；（2）f(x)＝；（3）f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x<2π)．探究点二　函数的变化快慢与导数的关系问题　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？你能否从导数的角度解释变化的快慢呢？例3　如图，设有圆C和定点O，当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影

4、部分的面积S是时间t的函数，它的图象大致是下图所示的四种情况中的哪一种？(　　)4跟踪训练3　（1）如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象．（2）已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是(　　)四．【当堂检测】1．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是(　　)A．单调增函数B．单调减函数C．在上是减函数，在上是增函数D．在上是增函数，在上是减函数2．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(

5、x)的图象可能是(　　)43．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调增区间为(　　)A．B．C．(0，＋∞)D．(0，a)4．（1）函数y＝x2－4x＋a的增区间为_________，减区间为___________（2）函数y＝x3－x的增区间为_______________________，减区间为_____________五．【课堂小结】1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f′(x)；（3）在函数f(x

6、)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.【课后作业】1．函数f(x)的定义域为，且满足f(2)＝2，>1，则不等式f(x)－x>0的解集为_______2．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是_______3．设函数f(x)＝x－－alnx.（1）若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线被圆x2＋y2＝1截得的弦长为，求a的值；（2）若函数f(x)在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；4