高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数课件.pptx

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1、1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数自主学习新知突破1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．2．能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．3．会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．已知函数f(x)＝sinx，其导函数f′(x)＝cosx，[问题3]试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．[提示3]当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下

2、关系：导数与函数的单调性导数函数的单调性f′(x)>0单调________f′(x)<0单调________f′(x)＝0常数函数递增递减1．确定函数f(x)的__________．2．求导数f′(x)．3．由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是__________；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是__________．4．结合定义域写出单调区间．利用导数求函数单调区间的基本步骤定义域增函数减函数利用导数求函数的单调区间注意

3、的问题(1)在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间中间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．1．函数y＝x3－3x的单调减区间是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：y′＝3x2－3，由y′＝3x2－3<0得－1

4、C3．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)＞0，解得x＞2.答案：(2，＋∞)4．证明函数f(x)＝x＋sinx在R上是增函数．证明：f′(x)＝1＋cosx，∵－1≤cosx≤1，∴0≤1＋cosx≤2，当且仅当cosx＝－1，即x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，f′(x)＝0.∴f(x)＝x＋sinx在R上是增函数．合作探究课堂互动导数与单调性的关系如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那

5、么导函数y＝f′(x)的图象可能是()[思路点拨]由函数y＝f(x)的图象可得到函数的单调情况，进而确定导数的正负，再“按图索骥”．解析：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A满足．答案：A1.利用导数符号判断单调性的方法：利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．2．通过图象研究函数单调性的方法：(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象

6、与x轴的交点，分析导数的正负．特别提醒：函数的正负与导数的正负没有关系．1．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为()解析：由函数f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f′(x)>0，故排除A、C.又f(x)在(0，＋∞)上有三个单调区间，故排除B，故选D.答案：D求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)函数的定义域为R.y′＝2x2－4x＝2x(x－2)．令y′＞0，则2x(x－2)＞0，解得x＜0或x＞2.所以函数的单调递增区间为

7、(－∞，0)，(2，＋∞)．令y′＜0，则2x(x－2)＜0，解得0＜x＜2.所以函数的单调递减区间为(0,2)．利用导数求函数的单调区间：(1)求定义域；(2)解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(3)把不等式的解集与定义域求交集得单调区间．特别提醒：(1)单调区间不能“并”，即不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．(2)导数法求得的单调区间一般用开区间表示．2．(1)求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间；(2)设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a

8、的值，并讨论f(x)的单调区间．求含参数的函数的单调区间[思路点拨]函数解析式中含有参数时，讨论其单调性(或求其单调区间)问题，往往要转化为解含参数的不等式问题，这时应对所含参数进行适当的分类讨论，做到不重不漏，最后要将各种情况分别进行表述．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对单调性的影响以及分类讨论的标准．已知函数单调性求参数范围若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递