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《2020版高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数课件新人教A版.pptx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.3.1函数的单调性与导数1.结合实例,直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).1.一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.名师点拨用曲线的切线的斜率来理解单调性与导函数的关系:当导数大于0时,切线的斜率为正,切线的倾斜角小于90°,函数曲线呈向上增加状态;当导数小于0时,切线的斜率为负
2、,切线的倾斜角大于90°且小于180°,函数曲线呈向下减少状态.【做一做1-1】若函数f(x)的导数f'(x)=x(x-2),则f(x)在区间内单调递减.解析:令f'(x)=x(x-2)<0,解得00,所以f(x)在(0,1)内单调递增,故选A.答案:A2.一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.名师点拨通过函数的图象,不仅可以看出函数
3、的单调性,还可以看出函数变化的快慢.“函数变化的快慢与其导数的关系”如下:【做一做2】若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是()解析:因为y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,所以从左到右函数f(x)图象上的点处的切线斜率是递增的.答案:A1.如何理解函数的单调性与导数的关系?剖析(1)在利用导数来讨论函数的单调区间时,先要确定函数的定义域,再在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)一般利用使导数等于零的点来划分函数的单调区间.(3)若函数
4、在某个区间内恒有f'(x)=0,则f(x)在此区间内为常数函数.如f(x)=3,则f'(x)=3'=0.(4)利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数在研究曲线变化规律中的一个应用,它充分体现了数形结合思想.名师点拨对于可导函数f(x)来说,“f'(x)>0”是“f(x)在(a,b)内单调递增”的充分不必要条件,“f'(x)<0”是“f(x)在(a,b)内单调递减”的充分不必要条件.例如f(x)=x3在R上单调递增,但f'(0)=0,所以在x=0处不满足f'(x)>0.2.利用导数求函数单调区间的步骤及注意的问题是什么?剖析(1
5、)利用导数求函数单调区间的步骤:①确定函数的定义域;②求导数f'(x);③在定义域内,解不等式f'(x)>0得到函数的递增区间;解不等式f'(x)<0得到函数的递减区间.(2)注意的问题:①在利用导数求函数单调区间时,首先必须求出函数的定义域,然后在定义域的前提之下解不等式得到单调区间,否则容易导致错误.②当一个函数的递增区间(或递减区间)有多个时,这些区间之间不能用并集符号“∪”连接,也不能用“或”连接,而只能用“,”或“和”连接.3.已知函数的单调性,如何求参数的取值范围?剖析“f'(x)>0(或f'(x)<0)”是“函数单
6、调递增(或单调递减)”的充分条件,但这个条件并不是必要的.在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)内单调递增(或单调递减)的充要条件是f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,且f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0.这就是说,函数f(x)在区间上的单调性并不排斥在区间内个别点处有f'(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f'(x0)=0,只是这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.因此,在已知函数f(x)单调递增(或单调递减)的条件下求参数的取值范围时,应令f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立,解出参数的取值
7、范围(一般可用不等式恒成立来求解),然后检验参数的取值能否使f'(x)在所给区间的任何一个子区间内不恒为零,从而求得参数的取值范围.4.利用导数证明不等式的一般形式和步骤是什么?剖析(1)常见形式:已知x∈(a,b),求证:u(x)>v(x).(2)证明步骤:①将所给的不等式移项,构造函数f(x)=u(x)-v(x),转化为证明函数f(x)>0;②当x∈(a,b)时,判断f'(x)的符号;③若f'(x)>0,说明f(x)在区间(a,b)内是增函数,只需将所给的区间的左端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(a)≥
8、0;若f'(x)<0,说明f(x)在区间(a,b)内是减函数,只需将所给的区间的右端点的值代入f(x),检验其值为零(或为正),即证得f(b)≥0.例如:求证:当x>0时,ex>x+1.证明:令f(x)=ex-(x+1),则f'(x)=ex-1.因为x>0,所以
