高中数学 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数(一)学案新人教a版

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1、1.3.1 函数的单调性与导数(一)学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.知识点一 函数的单调性与导函数的关系思考 观察图中函数f(x),填写下表.导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性f′(x)>0k>0锐角上升递增f′(x)<0k<0钝角下降递减梳理 一般地,设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,则在区间(a,b)内,(1)如果f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)如果f′(x)<0,则f(x)在这

2、个区间内单调递减.知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求导数y′=f′(x);(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为增区间;(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为减区间.1.函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0,则函数f(x)在定义域上单调递减.( × )2.函数f(x)在某区间内单调递增,则一定有f′(x)>0.( × )类型一 函数图象与导数图象的应用例1 已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表.f(x)的导函数y=

3、f′(x)的图象如图所示.x-1045f(x)1221给出下列关于函数f(x)的说法:①函数y=f(x)是周期函数;②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1

4、减函数,②正确;当x∈[-1,t]时,若f(x)的最大值是2,则结合函数f(x)的可能图象分析可知,此时t的最大值是5,因此③不正确;注意到f(2)的值不明确,结合函数f(x)的可能图象分析可知,将函数f(x)的图象向下平移a(10,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f′(x)<0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(

5、x)是常数函数,不具有单调性.(2)函数图象变化得越快,f′(x)的绝对值越大,不是f′(x)的值越大.跟踪训练1 已知y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),则所给四个图象中,y=f(x)的图象大致是(  )考点 函数的单调性与导数的关系题点 根据导函数图象确定原函数图象答案 C解析 当01时,xf′(x)>0,∴f′(x)>0,故y=f(x)在(1,+∞)上为增函数.故选C.类型二 利用导数求函数的单

6、调区间例2 求下列函数的单调区间.(1)y=x2-lnx;(2)y=x+(b>0).考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间解 (1)函数y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),又y′=.若y′>0,即解得x>1;若y′<0,即解得00,则(x+)(x-)>0,所以x>或x<-.所以函数的单调递增区间为(-∞,-),(

7、,+∞).令f′(x)<0,则(x+)(x-)<0,所以-0,函数在解集所表示的定义域内为增函数.(4)解不等式f′(x)<0,函数在解集所表示的定义域内为减函数.跟踪训练2 函数f(x)=(x2+2x)ex(x∈R)的单调递减区间为____________.考点 利用导数求函数的单调区间题点 利用导数求不含参数函数的单调区间

8、答案 (-2-,-2+)解析 由f′(x)=(x2+4x+2)ex<0,即x2+4x+2<0,解得-2-

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