高中数学 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数（一）学案新人教a版

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1、1．3.1　函数的单调性与导数(一)学习目标　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．知识点一　函数的单调性与导函数的关系思考　观察图中函数f(x)，填写下表．导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性f′(x)>0k>0锐角上升递增f′(x)<0k<0钝角下降递减梳理　一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)如果f′(x)<0，则f(x)在这

2、个区间内单调递减．知识点二　利用导数判断函数的单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．1．函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减．(　×　)2．函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.(　×　)类型一　函数图象与导数图象的应用例1　已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝

3、f′(x)的图象如图所示.x－1045f(x)1221给出下列关于函数f(x)的说法：①函数y＝f(x)是周期函数；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1

4、减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，若f(x)的最大值是2，则结合函数f(x)的可能图象分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；注意到f(2)的值不明确，结合函数f(x)的可能图象分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(10，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(

5、x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．跟踪训练1　已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)考点　函数的单调性与导数的关系题点　根据导函数图象确定原函数图象答案　C解析　当01时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C.类型二　利用导数求函数的单

6、调区间例2　求下列函数的单调区间．(1)y＝x2－lnx；(2)y＝x＋(b>0)．考点　利用导数求函数的单调区间题点　利用导数求不含参数函数的单调区间解　(1)函数y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，又y′＝.若y′>0，即解得x>1；若y′<0，即解得00，则(x＋)(x－)>0，所以x>或x<－.所以函数的单调递增区间为(－∞，－)，(

7、，＋∞)．令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，所以－0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．跟踪训练2　函数f(x)＝(x2＋2x)ex(x∈R)的单调递减区间为____________．考点　利用导数求函数的单调区间题点　利用导数求不含参数函数的单调区间

8、答案　(－2－，－2＋)解析　由f′(x)＝(x2＋4x＋2)ex<0，即x2＋4x＋2<0，解得－2－