2018年秋高中数学1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数学案新人教a版

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1、1.3.1　函数的单调性与导数学习目标：1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2.掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3.会用导数求函数的单调区间．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递增f′(x)＜0单调递减思考：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？[提示]f(x)是常数函数．2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越

2、小慢比较“平缓”(向上或向下)[基础自测]1．思考辨析(1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增．(　　)(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　)(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上是(　　)A．增函数　　B．减函数C．先增后减D．不确定A　[∵f(x)＝2x－sinx，∴f′(x)＝2－cosx＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]3．函数y＝f(x)的图象如图131所

3、示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)图131D　[∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.]4．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________.【导学号：31062036】[解析]　∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1.由f′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．[答案]　(0，＋∞)[合作探究·攻重难]函数与导函数图象间的关系　(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图132所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为(　　)图132(2)

4、已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图133所示，则f(x)的图象只可能是(　　)图133(1)D　(2)D　[(1)由函数的图象可知：当x＜0时，函数单调递增，导数始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间内，导数单调递增；在区间内，导数单调递减．即函数f(x)的图象在内越来越陡，在内越来越平缓，由此可知，只有选项D符合．][规律方法]　研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内

5、单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.[跟踪训练]1．已知y＝xf′(x)的图象如图134所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)图134C　[当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；当x＞1时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数．故选C.]利用导数求函数的单调区间角度1　不含参数的函数求单调区间　求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝3x2－2lnx；(2)f(x)＝x2

6、·e－x；(3)f(x)＝x＋.【导学号：31062037】[解]　(1)函数的定义域为D＝(0，＋∞)．∵f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定义域D，得下表：xf′(x)－0＋f(x)∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f′(x)∴f(x)的单调递减区间为

7、(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)．(3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域D，得下表：x(－∞，－1)－1(－1,0)(0,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．角度2　含参数的函数的单