高中数学 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大小值与导数（二）学案新人教a版

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1、1．3.3　函数的最大(小)值与导数(二)学习目标　1.理解极值与最值的关系，并能利用其求参数的范围.2.能利用导数解决一些简单的恒成立问题．知识点　用导数求函数f(x)最值的基本方法(1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)；(2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点；(3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表；(4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值；(5)求区间端点的函数值；(6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x

2、)在其定义域内的最大值和最小值.类型一　由极值与最值关系求参数范围例1　若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1，)B．(－1,4)C．(－1,2]D．(－1,2)考点　利用导数求函数中参数的取值范围题点　最值存在性问题答案　C解析　由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘－2↗2↘由此得a2－12<－1

3、当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.综上，－10，即－6b<0，且(3－6b)>0，∴0

4、数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)

5、1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)的单调递增区间为，(1，＋∞)；单调递减区间为.(2)由(1)知，f(x)＝x3－x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－时，f ＝＋c为极大值，因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．要使f(x)f(2)＝2＋c，解得c<－1或c>2.故实数c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．引申探究　若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)

6、成立”，结果如何？解　由典例解析知当x＝1时，f(1)＝c－为极小值，又f(－1)＝＋c>c－，所以f(1)＝c－为最小值．因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)f(1)＝c－，即2c2－2c＋3>0，解得c∈R.故实数c的取值范围为R.反思与感悟　分离参数求解不等式恒成立问题的步骤跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝2xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，则a的取值范围是________．考点　利用导数求函数中参数的取值范围题点　利用导数求恒成立中参数的取值范围答案　(－∞，4

7、]解析　由2xlnx≥－x2＋ax－3，得a≤2lnx＋x＋.设h(x)＝2lnx＋＋x(x>0)．则h′(x)＝，当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．∴h(x)min＝h(1)＝4.∴a≤4.(2)设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．①求L的方程；②证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．考点　利用导数求函数中参数的取值范围题点　恒成立中的证明问题①解　设f(x)＝，则f′(x)＝，所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.②证明　设g(x)＝x－1－f(x)

8、，除切点外，曲线C在直线L的下方等价于∀x>0且x≠1，g(x)>0.g(x)满