高中数学 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数（二）学案

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1、1．3.2　函数的极值与导数(二)学习目标　1.能根据极值点与极值的情况求参数范围.2.会利用极值解决方程的根与函数图象的交点个数问题．1．极小值点与极小值(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，并且f′(a)＝0.(2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.(3)结论：点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值(1)特征：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，并且f′

2、(b)＝0.(2)符号：在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.(3)结论：点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．3．用导数求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求函数y＝f(x)的导数f′(x)；(3)求出方程f′(x)＝0在定义域内的所有实根，并将定义域分成若干个子区间；(4)以表格形式检查f′(x)＝0的所有实根两侧的f′(x)是否异号，若异号则是极值点，否则不是极值点.类型一　由极值的存在性求参数的范围例1　(1)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则实数a的

3、取值范围为________．(2)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，0)B.C．(0,1)D．(0，＋∞)考点　利用导数研究函数的极值题点　极值存在性问题答案　(1)(－∞，1)　(2)B解析　(1)f′(x)＝x2－2x＋a，由题意，得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a>0，解得a<1.(2)∵f(x)＝x(lnx－ax)，∴f′(x)＝lnx－2ax＋1，且f(x)有两个极值点，∴f′(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f′(x)＝0，则2a＝，设

4、g(x)＝，则g′(x)＝，∴g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，又∵当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，而g(x)max＝g(1)＝1，∴只需0<2a<1，即0

5、等正根，设为x1，x2，则解得00)上存在极值，求实数a的取值范围．考点　利用导数研究函数的极值题点　极值存在性问题解　∵f(x)＝，x>0，则f′(x)＝－.当00，当x>1时，f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x＝1处取得极大值．∵函数f(x)在区间(其中a>0)上存在极值，∴解得

6、即实数a的取值范围为.类型二　利用函数极值解决函数零点问题例2　(1)函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是________．考点　函数极值的综合应用题点　函数零点与方程的根答案　解析　∵f(x)＝x3－4x＋4，∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝；当x＝2时

7、，函数取得极小值f(2)＝－.且f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－

8、得x3－6x2＋9x＋3＝x2＋x＋3＋m有三个不相等的实根，即g(x)＝x3－7x2＋8x－m的图象与x轴有三个不同的交点．∵g′(x)＝3x2－14x＋8＝(3x－2)(x－4)，令g′(x)＝0，得x