2018年秋高中数学 导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数学案

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1、3.3.2　函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)[自主预习·探新知]1．极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)；(2)f′(a)＝0；(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数f(x)满足：(1)在x＝b附近其他点的函数值

2、f(x)≤f(b)；(2)f′(b)＝0；(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？[提示]　(1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的

3、符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．4．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[基础自测]1．思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．(　　)(2)函数的极大值一定大于极小值．(　　)(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重

4、合．(　　)(4)函数f(x)＝有极值．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．函数y＝x3＋1的极大值是(　　)A．1　　　　B．0　　　　C．2　　　　D．不存在D　[y′＝3x2≥0，则函数y＝x3＋1在R上是增函数，不存在极大值．]3．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点则有(　　)【导学号：97792153】A．a＝－2，b＝4B．a＝－3，b＝－24C．a＝1，b＝3D．a＝2，b＝－4B　[f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意有x＝－2和x＝4是方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根

5、，所以有－＝－2＋4，＝－2×4，解得a＝－3，b＝－24.][合作探究·攻重难]求函数的极值　(1)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图338所示，则函数f(x)的极小值是(　　)图338A．a＋b＋c　　　B．3a＋4b＋cC．3a＋2bD．c(2)求下列函数的极值：①f(x)＝x3－x2－3x＋3；②f(x)＝－2.[解析]　(1)由f′(x)的图象知，当x<0时，f′(x)<0，当00，当x>2时，f′(x)<0因此当x＝0时，f(x)有极小值，且f(0)＝c，故选D.[答案]D(

6、2)①函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值－6↗∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点，且f(x)极大值＝，f(x)极小值＝－6.②函数的定义域为R，f′(x)＝＝－.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘

7、极小值－3↗极大值－1↘由表可以看出：当x＝－1时，函数f(x)有极小值，且f(－1)＝－2＝－3；当x＝1时，函数f(x)有极大值，且f(1)＝－2＝－1.[规律方法]　函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域.(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．[跟踪训练]1．求下列函数的极值．(1)f(x)＝2x＋

8、；(2)f(x)＝＋3lnx.[解]　(1)因为f(x)＝2x＋，所以函数的定义域为{x

9、x∈R且x≠0}，f′(x)＝2－，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝