高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数学案含解析新人教A版

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1、3.3.2　函数的极值与导数学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．知识点一　极值点与极值的概念思考　观察函数f(x)＝x3－2x的图象．f′(－)的值是多少？在x＝－左、右两侧的f′(x)有什么变化？f′()的值是多少，在x＝左、右两侧的f′(x)又有什么变化？答案　f′(－)＝0，在x＝－的左侧f′(x)>0，在x＝－的右侧f′(x)<0；f′()＝0，在x＝的左侧f′(x)<0，在x＝的右侧f′(x)>0.梳

2、理　(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)极大值点与极大值如(1)中图，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

3、极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．1．导数值为0的点一定是函数的极值点．(　×　)2．极大值一定比极小值大．(　×　)3．函数f(x)＝有极值．(　×　)4．函数的极值点一定是其导函数的变号零点．(　√　)类型一　极值与极值点的判断与求解例1　已知函数y＝

4、f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值考点　函数极值的应用题点　函数极值在函数图象上的应用答案　C解析　由导函数的图象可知：当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0，当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上为增函数，在(0,2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C.反思与感悟　通

5、过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点．跟踪训练1　如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是(　　)①f(x)在(－3，－1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④考点　函数极值的应用题点　函数极值在函数图象上的应用答案　B解析　当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，∴f(x)在(－3，－1

6、)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，∴①不对；x＝－1是f(x)的极小值点；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函数；x＝2是f(x)的极大值点，故②③正确，④错误．命题角度2　求函数的极值或极值点例2　求下列函数的极值．(1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1；(2)f(x)＝x2－2lnx.考点　函数的极值与导数的关系题点　不含参数的函数求极值问题解　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)，解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－

7、2，x2＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值21↘极小值－6↗所以当x＝－2时，f(x)取极大值21；当x＝1时，f(x)取极小值－6.(2)函数f(x)＝x2－2lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，解方程＝0，得x1＝1，x2＝－1(舍去)．当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值1↗因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值．反思与感悟　求可

8、导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)．(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根．(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．特别提醒：在判断f′(x)的符号时，借