2018年秋高中数学 导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大小值与导数学案

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1、3.3.3　函数的最大(小)值与导数学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念．(易混点)2.掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．(重点)3.能根据函数的最值求参数的值．(难点)[自主预习·探新知]1．函数f(x)在区间[a，b]上的最值如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或区间端点取得．思考：若函数f(x)在区间[a，b]上只有一个极大值点x0，则f(x0)是函数f(x

2、)在区间[a，b]上的最大值吗？[提示]　根据极大值和最大值的定义知，f(x0)是函数f(x)在区间[a，b]上的最大值．2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[基础自测]1．思考辨析(1)函数的最大值一定是函数的极大值．(　　)(2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　)(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取

3、得．(　　)(4)函数f(x)＝在区间[－1,1]上有最值．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是(　　)A．－2　　　B．0　　　C．2　　　D．4C　[f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.由f(－1)＝－2，f(0)＝2，f(1)＝0得f(x)max＝f(0)＝2.]3．函数y＝x－sinx，x∈的最大值是(　　)【导学号：97792160】A．π－1　　　B.－1　　　C．π　　　D．π＋1C　[y′＝1

4、－cosx>0，故函数y＝x－sinx，x∈是增函数，因此当x＝π时，函数有最大值，且ymax＝π－sinπ＝π.][合作探究·攻重难]求函数的最值　求下列各函数的最值．(1)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5，x∈[－2,1]；(2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2,5]．[解]　(1)f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝2，又x∈[－2,1]，故x＝－1，且f(－1)＝12.又因为f(－2)＝1，f(1)＝－8，所以，当x＝－1时，f(x)取最大值12.当x＝1时，f(x)取最

5、小值－8.(2)∵f(x)＝3ex－exx2，∴f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx)＝－ex(x2＋2x－3)＝－ex(x＋3)(x－1)．∵在区间[2,5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0，即函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，∴x＝2时，函数f(x)取得最大值f(2)＝－e2；x＝5时，函数f(x)取得最小值f(5)＝－22e5.[规律方法]　求函数在闭区间上最值的步骤第一步　求f′(x)，解方程f′(x)＝0第二步　确定在闭区间上方程f′(x)＝0的根第三步　求极值、端点值，确定最值．

6、[跟踪训练]1．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－，3]；(2)f(x)＝x2－(x＜0)．[解]　(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－(－，－1)－1(－1，1)1(1,3)3f′(x)－0＋0－f(x)0↘极小值↗极大值↘－18所以x＝1和x＝－1是函数在[－，3]上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－)＝0，f(3)＝－18，

7、所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2x＋.令f′(x)＝0，得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,0)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值.含参数的函数的最值问题　已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值.【导学号：97792161】[思路探究]　求导→讨论a的正负→判断[0,2]上的单调性→得最值

8、．[解]　f′(x)＝3x2－2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.当≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.当0＜＜2，即0＜a＜3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，从而f(x)max＝综上所述，f(x)m