高中数学 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大小值与导数（一）学案新人教a版

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1、1．3.3　函数的最大(小)值与导数(一)学习目标　1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值．知识点　函数的最大(小)值与导数如图为函数y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．思考1　观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．答案　极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)．思考2　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．梳理　(1)函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在

2、区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．函数的最大值不一定是函数的极大值．(　√　)2．函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　×　)3．有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　×　)类型一　求函数的最值例1　求下列各函数的最值：(1)f(x)＝－x4＋2

3、x2＋3，x∈[－3,2]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．考点　利用导数求函数的最值题点　利用导数求不含参数函数的最值解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝－1，x＝0，x＝1.当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－3(－3，－1)－1(－1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0－f(x)－60↗极大值↘极小值↗极大值↘－5∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60；当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3

4、(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故当x＝－1时，f(x)min＝－12；当x＝1时，f(x)max＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.反思与感悟　求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．跟踪训练1　求下列函数的最值．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x＋sinx，x∈[0,2π]．考点　利用导数求函数的最值题点　利用导数求不含参数函数的最值解　

5、(1)函数f(x)＝的定义域为R.f′(x)＝＝，当f′(x)＝0时，x＝2，当f′(x)>0时，x<2，当f′(x)<0时，x>2.所以f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)无最小值，且当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝.(2)f′(x)＝＋cosx，x∈[0,2π]，令f′(x)＝0，得x＝π或x＝π.因为f(0)＝0，f(2π)＝π，f ＝＋，f ＝π－，所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0，当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.例2　已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…为

6、自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．考点　利用导数求函数的最值题点　利用导数求含参数函数的最值解　因为f(x)＝ex－ax2－bx－1，所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，又g′(x)＝ex－2a，因为x∈[0,1]，1≤ex≤e，所以：(1)若a≤，则2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递增，g(x)min＝g(0)＝1－b.(2)若0，所

7、以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间[ln(2a)，1]上单调递增，g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.(3)若a≥，则2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.综上所述，当a≤时，g(x)在区间[0,1]上的最小值为1－b；当