高中数学 导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数（二）学案新人教a版

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1、1.3.1　函数的单调性与导数(二)学习目标　1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.

2、2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等

3、隔开．1．如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　√　)2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．(　√　)类型一　利用导数求参数的取值范围例1　若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________．考点　利用导数求函数的单调区间题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)答案　[1，＋∞)解析　由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，等价于f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而

4、0<<1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围．解　∵f′(x)＝k－，又f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴f′(x)＝k－≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k≤，∵0<<1，∴k≤0.即k的取值范围为(－∞，0]．2．若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围．解　f(x)＝kx－lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝k－.当k≤0时，f′(x)<0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故不合题意．当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝，只需∈(1，＋∞)，即>1，

5、则00(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．(2)恒成立问题的重要思路①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.跟踪训练1　若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1

6、在区间(1,4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．考点　利用导数求函数的单调区间题点　已知函数的单调性求参数(或其范围)解　方法一　(直接法)f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，不合题意．当a－1>1，即a>2时，函数f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，由题意知(1,4)⊂(1，a－1)且(6，＋∞)⊂(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7.故实数a的

7、取值范围为[5,7]．方法二　(数形结合法)如图所示，f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．因为在(1,4)内，f′(x)≤0，在(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，所以另一根在[4,6]上．所以即所以5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．方法三　(转化为不等式的恒成立问题)f′(x)＝x2－ax＋a－1.因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1，因为2

8、,4)上恒成立，又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，所以a≤x＋1，因为x＋1>7，所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．综上知5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7]．类型二　证明不等式例2　证明