《1.3.1 函数的单调性与导数》教学案3

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1、《1.3.1函数的单调性与导数》教学案3一、教材分析以前，我们用定义来判断函数的单调性．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数．对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数。在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易．如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单。根据课程标准，本节分为四课时，此为第一课时。二、教学目标1，知识目标：1）正确理解利用导数判

2、断函数的单调性的原理；2）掌握利用导数判断函数单调性的步骤。2，能力目标：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。3，情感、态度与价值观目标：在愉悦的学习氛围中，学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。三、教学重点难点教学重点：利用导数判断函数单调性。教学难点：利用导数判断函数单调性。.四、教学方法：探究法五、课时安排：1课时六、教学过程【引例】1．确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？解：，在上是减函数，在上是增函数。问：1）、为什么在上是减函数，在上是增函数？都

3、是反映函数随自变量的变化情况。2）、研究函数的单调区间你有哪些方法？（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？（1）能画出函数的图象吗？（2）能用单调性的定义吗？试一试，提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个

4、新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。【探究】我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。问：如何入手？（图象）从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？1、研究二次函数的图象；（1）学生自己画图研究探索。（2）提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（3）（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。（4）提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？（5）学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示

5、，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？2、先看一次函数图象；3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1）观察三次函数的图象；（几何画板演示）（1）观察某个函数的图象。（几何画板演示）指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻

6、灯放映课题）。【新课讲解】4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。若在某个区间内恒有，则为常函数。这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。结论应用：由以上结论知：函数的单调性与其

7、导数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：【例题讲解】例1、求证：在上是增函数。由学生叙述过程老师板书：因为，，所以，即，所以函数在上是增函数。注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。例2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.由学生叙述过程老师板书：解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x,令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)

8、是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）求函数f(x)的导数f′(