九年级数学上册1.4图形的位似专题二相似三角形的判定复习讲练素材新青岛版

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1、专题二：相似三角形的判定知识要点：1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；2、如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；4、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．典例例题分析：例1如图1，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE．过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．（1）求证：△PBE∽△QAB

2、；（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，若不相似请说明理由．ADCBNMADCBQEPN图1分析：（1）根据折叠性质知△PBE、△QAB和△ABE都是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余性质，从角度入手可证△PBE∽△QAB；（2）由∠EPB=∠EBA=90°，可考虑证明两直角夹边的比是否相等，来判断△PBE和△BAE是否相似．解：（1）证明：∵∠PBE+∠ABQ=90°，∠PBE+∠PEB=90°，∴∠ABQ=∠PEB．又∵∠BPE=∠AQB=90°，∴△PBE∽△QAB．（2）∵△P

3、BE∽△QAB，∴．∵BQ=PB，∴，即．又∵∠EPB=∠EBA=90°，∴△PBE∽△BAE．说明：根据题目提供条件，正确选择相似三角形的判定方法是解题难点．通常是已知一组对应角（或公共角）相等，再找一组角相等即可；如果另一组对4应角无法找到，应考虑找相等角（公共角）的夹边的比相等．若已知条件中未告诉任何有关角的关系问题，则应从三边的比考虑相似．例2如图2，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4．（1）判断这两个三角形是否相似？并说明为什么？（2）能否分别过A，D在

4、这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论．分析：（1）根据已知条件可用“如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似”进行判断；（2）可从角度入手对两个三角形进行分割．解：（1）不相似．在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；在Rt△EDF中，∵∠D=90°，DE=3，DF=2，．．∴Rt△BAC与Rt△EDF不相似．（2）能作如图所示的辅助线进行分割．ABMCDNFE图2作法：作∠BAM=

5、∠E，交BC于M；作∠NDE=∠B，交EF于N．由作法和已知条件可知△BAM∽△DEN．∵∠AMC=∠BAM+∠B，∠FND=∠E=∠NDE，∴∠AMC=∠FND．∵∠FDN=90°-∠NDE，∠C=90°-∠B，∴∠FDN=∠C，∴△AMC∽△FND．说明：本题分割相似图形应紧扣相似三角形的判定方法，考虑两个直角三角形的两锐角互余的关系，应从角度入手进行动手分割操作．专题训练图31．在△ABC中，AB=6，AC=8，在中，DE=4，DF=3，要△ABC使与△DEF相似，需添加的一个条件是（写出一种情况即

6、可）．42．如图3，已知△ABC中，D是AC上一点，以AD为一边，作∠ADE，使∠ADE的另一边与AB相交于点E，且△ADE∽△ABC，其中AD的对应边为AB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）3．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作∠ADE=45°，如图4，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．①求证：△ABD∽△DCE；②当△ADE是等腰三角形时，求AEABDCE图4的长．4参考答案1．答案不唯一，如∠A=∠D；BC=10，EF=5．2．作

7、∠ADE=∠B即可．3．（1）∵∠ADC=45°+∠EDC=45°+∠BAD，∴∠EDC=∠BAD，又∵∠B=∠C=45°，∴△ABD∽△DCE；（2）或1．4