2019_2020学年高中数学课时分层作业13距离的计算（含解析）北师大版

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1、课时分层作业(十三)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知平面α的法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为，则x＝(　　)A．－1　　　　　　　B．－11C．－1或－11D．－21C　[＝(x＋2，2，－4)，而d＝＝，即＝，解得x＝－1或－11.]2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱A1A＝5，AB＝12，那么直线B1C1到平面A1BCD1的距离是(　　)A．5B.C.D．8C　[以D为原点，、、的方向为x、y、z轴正方向建立空

2、间直角坐标系，则C(0，12，0)，D1(0，0，5)，设B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x≠0)，设平面A1BCD1的法向量n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥得n·＝(a，b，c)·(－x，0，0)＝－ax＝0，∴a＝0，n·＝(a，b，c)·(0，－12，5)＝－12b＋5c＝0，∴b＝c，∴可取n＝(0，5，12)，＝(0，0，－5)，∴B1到平面A1BCD1的距离d＝＝.]3．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1、B1C1的中点，则直线MN和平面ACD1的距离是(　

3、　)A.B.C.D.D　[法一：如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，M(1，1，)，N(，1，1)，C(0，1，0)．所以＝(－1，0，1)，＝(－，0，)．所以＝.又直线AD1与MN不重合，所以∥.又MN平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.因为＝(－1，0，1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，1，0)．设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，则所以所以x＝y＝z.令x＝1，则n＝(1，1，1)．又因为＝(1，1，)－(1，0，0)＝(0，1，)，所以

4、

5、＝＝.所以点M到平面ACD

6、1的距离为＝＝.法二：延长NM交CB的延长线于H，连AH、D1H，MH∥平面ACD1，∴M到平面ACD的距离即为H到平面ACD1的距离．则VD1－AHC＝×＝＝VH－ACD1＝×h.∴h＝.]4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC间的距离为(　　)A.B.C.D.C　[建系如图A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(1，0，1)，设n＝(x，y，z)，令∴令x＝1则n＝(1，1，－1)＝(1，0，0)，与AC的距离d＝＝.]5．在长方体ABCD

7、－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为(　　)A.B.C.D.C　[如图，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)．∴＝(2，2，0)，＝(2，0，－4)，＝(0，0，4)，设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，则n⊥，n⊥，∴令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．∴由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.]二、填空题6．如图所示，在直二面角DA

8、BE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________．　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，2).＝(0，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2)，设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，则即令y＝1，∴n＝(－1，1，－1)．故点D到平面ACE的距离d＝＝＝.]7．设A(2，3，1)，B(4，1，2)，C(6，3，7)，D(－5，－4，8)，则点D到平面ABC的距

9、离为________．　[设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)，∵n·＝0，n·＝0，∴即⇒令z＝－2，则n＝(3，2，－2)．又＝(－7，－7，7)，∴点D到平面ABC的距离为d＝＝＝＝.]8．如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为________．　[建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，0)，B1(1，1，0)，E，F，D1(0，0，0)，M，N.∵E，F，M，N分别是棱的中点，∴MN∥EF，A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1

10、.∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离．设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)，∴n·＝0，且n·＝0.即(x，y，z)·(1，1，0)＝0，且(x，y，z)·＝0.∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，令x＝2，则y＝－2，z＝1.∴n＝(2，－2，1)，n0＝.∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝

11、·n0

12、＝＝.]三、解