2019_2020学年高中数学课时分层作业13三角形中的几何计算（含解析）北师大版必修5

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1、课时分层作业(十三)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC中，sin2A·sin2B＝1，则△ABC是(　　)A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．直角三角形B　[在△ABC中，由sin2A·sin2B＝1，知又A、B为△ABC的内角，∴A＝B＝45°.∴△ABC为等腰直角三角形，故选B.]2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sinBsinC＋sin2C，则A等于(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°C　[由正弦定理，可知a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理，可

2、知A＝120°.]3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则△ABC的外接圆的直径是(　　)A．4B．5C．5D．6C　[∵S△ABC＝acsinB＝2，∴c＝4.又b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝1＋32－2×1×4×＝25，∴b＝5，∴2R＝＝5.]4．在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则AC边上的高为(　　)A．B．C．D．3B　[由余弦定理可知13＝9＋16－2×3×4×cosA，得cosA＝，又A为三角形的内角，∴A＝，∴h＝AB·sinA

3、＝.]5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于(　　)A．B．C．－D．－C　[由2S＝(a＋b)2－c2得2×absinC＝a2＋b2－c2＋2ab，得absinC＝2abcosC＋2ab，sinC－2cosC＝2，∴sin2C＋4cos2C－4sinCcosC＝4，∴＝4，∴tanC＝－或0(舍去)，故选C.]二、填空题6．在△ABC中，若m＝(sinA，cosA)，n＝(cosB，sinB)，m·n＝sin2C，则角C＝____

4、____.　[∵m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin2C，得cosC＝，又C为△ABC的内角，∴C＝.]7．在△ABC中，AB＝，点D是BC的中点，且AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积为________．　[∵D为BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD＝2××

5、AB

6、

7、AD

8、·sin∠BAD＝2×××1×sin30°＝.]8．如图所示，已知圆内接四边形ABCD中AB＝3，AD＝5，BD＝7，∠BDC＝45°，则BC＝________.　[cosA＝＝－，∴A＝120°，∴C＝60°.从而＝

9、，∴BC＝＝＝.]三、解答题9．已知四边形ABCD中，AB＝2，BC＝CD＝4，DA＝6，且D＝60°，试求四边形ABCD的面积．[解]　连接AC，在△ACD中，由AD＝6，CD＝4，D＝60°，可得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcosD＝62＋42－2×4×6cos60°＝28，在△ABC中，由AB＝2，BC＝4，AC2＝28，可得cosB＝＝＝－.又0°

10、4sin120°＝8.10．如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cosB＝.(1)求△ACD的面积；(2)若BC＝2，求AB的长．[解]　(1)因为∠D＝2∠B，cosB＝，所以cosD＝cos2B＝2cos2B－1＝－，因为∠D∈(0，π)，所以sinD＝＝.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝AD·CD·sinD＝×1×3×＝.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cosD＝12，所以AC＝2，因为BC＝2，＝，所以＝＝＝＝，所以AB＝4.[能力提升

11、练]1．在△ABC中，A＝60°，且最大边的长和最小边的长是方程x2－7x＋11＝0的两根，则第三边的长为(　　)A．2B．3C．4D．5C　[设最大的边长为x，最小的边长为y.由根与系数的关系得，A＝60°，∴y≤a≤x，由余弦定理，得a2＝x2＋y2－2xycos60°＝(x＋y)2－3xy＝49－33＝16，故a＝4.]2．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于(　　)A．B．C．D．B　[设AB＝c，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，即7＝c

12、2＋4－2×2×c×cos60°，c2－2c－3＝0，即(c－3)(c＋1)＝0，又c＞0，∴c＝3.设BC边上的高等于h，由三角形面积公式S△ABC＝AB·BC·sinB＝BC·h，知×3×2×sin60°＝×2×h，∴h＝.]3．如图所示，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝________.　[易知，在△ECD中，E