2019_2020学年高中数学课时分层作业6三角形中的几何计算（含解析）新人教A版必修5

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1、课时分层作业(六)　三角形中的几何计算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　)A．60°或120°　B．120°C．60°D．30°C　[S△ABC＝·BC·CA·sinC＝3，∴sinC＝，∵C∈(0°，90°)，∴C＝60°.]2．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为(　　)A．45°B．60°C．120°D．150°A　[4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，∴4·bcsinA＝

2、2bccosA，∴tanA＝1，又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.]3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为(　　)A．40B．20C．40D．20A　[设另两边长为8x，5x，则cos60°＝＝，解得x＝2.两边长是16与10，三角形的面积是×16×10×sin60°＝40.]4．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(　　)A．B．C．D．3A　[面积S＝＝bcsinA＝×1×c×，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝12＋

3、42－2×1×4×＝13，∴＝＝.]5．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是(　　)A．8B．16C．18D．32B　[在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝65，即AB2＋AD2－2AB·AD·cosB＝65，①在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝17，②又cosA＋cosB＝0.①＋②得AB2＋AD2＝41，又AB＋AD＝9，∴AB＝5，AD＝4或AB＝4，AD＝5.∴cosA＝，A∈，∴sinA＝，∴这个平

4、行四边形的面积S＝5·4·＝16.]二、填空题6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为________．　[画出三角形(略)知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos60°＝3，∴AD＝.]7．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为________．49　[由bcsinA＝220得c＝55，又a2＝b2＋c2－2bccosA＝2401，所以a＝49.]8．在△ABC中，B＝120°，b＝7，c＝5，则△ABC的面积为________

5、．　[由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即49＝a2＋25－2×5×acos120°，整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)，∴S△ABC＝acsinB＝×3×5sin120°＝.]三、解答题9．已知△ABC的三内角满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2.[证明]　由已知得cos2Acos2B－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2Asin2B＝1－5sin2C，∴1－sin2A－sin2

6、B＝1－5sin2C，∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.由正弦定理得，所以＋＝5，即a2＋b2＝5c2.10．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积．[解]　(1)由题设及余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC，①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC．②由①，②得cosC＝，故C＝60°，BD＝.(2)四边形ABCD的面积S＝AB·DAsinA＋BC·CDsinC＝·

7、sin60°＝2.[能力提升练]1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinBcosA＝b，且a>b，则B＝(　　)A．　　　B．C．D．A　[由正弦定理可得sinAsinBcosC＋sinCsinBcosA＝sinB，又因为sinB≠0，所以sinAcosC＋sinCcosA＝，所以sin(A＋C)＝sinB＝.因为a>b，所以B＝.]2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，b＝，且1＋2cos(B＋C)＝0，则BC边上的高等于(　　)A．B．

8、C．D．B　[由1＋2cos(B＋C)＝0，得1－2cosA＝0，即cosA＝，所以A＝.由正弦定理＝，得sinB＝＝＝，因为b＜a，所以B＜A，得B＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，即3＝2＋c2－c，得c2－c－1＝0，解得c＝，所以BC边上的高h＝csinB＝×＝.故选B.]3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝2，1＋＝，则角C的值为________．　[由