2019_2020学年高中数学第2章数列2.4等比数列（第1课时）等比数列学案新人教A版必修5

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1、第1课时　等比数列学习目标核心素养1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)．1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养.2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)符号语言：＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)．思考：能将定义中的

2、“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？[提示]　不能．2．等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝ab．思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？[提示]　不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)

3、是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式．[提示]　还可以用累乘法．当n>2时，＝q，＝q，…，＝q，∴an＝a1··…·＝a1·qn－1.1．2＋和2－的等比中项是(　　)A．1B．－1　　　C．±1　　　D．2C　[设2＋和2－的等比中项为a，则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.]2．下列数列为等比数列的序号是________．①2，22，3×22；②，，，，(a≠0)；③

4、s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0，0，0，0，0.②　[≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________．　[由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②所以②÷①得q3＝，所以q＝.]4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________．－729　[由等比数列定义知

5、＝＝＝q.所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.]等比数列的通项公式及应用【例1】　在等比数列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.[解]　(1)由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1

6、和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．1．在等比数列{an}中，(1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；(2)若a4＝2，a7＝8，求an.[解]　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405.(2)因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2

7、，于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.等比中项【例2】　(1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)A．±4　　B．4　　C．±　　　D．(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．思路探究：(1)用定义求等比中项．(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．(1)A　[由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.](2)[证明]　b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，

8、又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．等比中项应用的三点注意