2019_2020学年高中数学第2章数列2.4等比数列（第2课时）等比数列的性质学案新人教A版必修5

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1、第2课时　等比数列的性质学习目标核心素养1.掌握等比数列的性质及其应用(重点).2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用(难点、易错点).3.能用递推公式求通项公式(难点)．1.通过灵活设项求解等比数列问题以及等比数列性质的应用，培养数学运算素养.2.借助递推公式转化为等比数列求通项，培养逻辑推理及数学运算素养.1．推广的等比数列的通项公式{an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)．2．“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，

2、组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk．思考：如何推导an＝amqn－m?[提示]　由＝＝qn－m，∴an＝am·qn－m.3．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq．①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a．②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….4．两等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列．思

3、考：等比数列{an}的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3)是等比数列；(4){a2n}是等比数列．[提示]　由定义可判断出(1)(3)(4)正确．1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列[答案]　D2．等比数列{an}中，a1＝3，q＝2，则a4＝______，an＝______．24　3×2n－1　[a4＝a1q3＝3×23＝24，an＝a1qn－1＝3×2n－1.]3

4、．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝6，则a9＝________．9　[因为a7＝a5q2，所以q2＝.所以a9＝a5q4＝a5(q2)2＝4×＝9.]4．在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11的值为________．25　[因为a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，所以a8a9a10a11＝25.]灵活设项求解等比数列【例1】　已知4个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－，则此4个数为________．8，－2，，－或－，，－2，8　[设此4个数为a，aq，aq2，aq3.则a4q6＝1，aq(1＋q)＝－，①所以a2q3＝±

5、1，当a2q3＝1时，q>0，代入①式化简可得q2－q＋1＝0，此方程无解；当a2q3＝－1时，q<0，代入①式化简可得q2＋q＋1＝0，解得q＝－4或q＝－.当q＝－4时，a＝－；当q＝－时，a＝8.所以这4个数为8，－2，，－或－，，－2，8.]巧设等差数列、等比数列的方法(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.1．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8，后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，

6、求出这四个数．[解]　由题意设此四个数为，b，bq，a，则有解得或所以这四个数为1，－2，4，10或－，－2，－5，－8.等比数列的性质及应用【例2】　已知{an}为等比数列．(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5；(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．思路探究：利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解．[解]　(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.(2)由等比中项，

7、化简条件得a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5＝5.(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充