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《2019_2020学年高中数学第2章数列2.3.1等比数列（第2课时）等比数列的性质学案新人教B版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 等比数列的性质学习目标核心素养1.掌握等比数列的性质及其应用．(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式．(难点)1.通过等比数列性质的学习，培养学生的逻辑推理的素养．2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升学生的数学运算素养.1．“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.2．等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq.
2、①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am·an＝a.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….3．两个等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列．4．等比数列的单调性公比q单调性首项a1q>100递增数列递减数列常数数列摆动数列a1<0递减数列递增数列1．已知等比数列{an}，a1＝1，a3＝，则a5等于( )A．± B．－C．D．±C [在等比数列中，a＝a1·a5，所以a5＝＝
3、.]2．已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于( )A．B．C．D．D [由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝，故选D．]3．若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________．1 [只有非零常数列才满足题意，所以公比q＝1.]4．正项等比数列{an}中，a2a5＝10，则lga3＋lga4＝________.1 [lga3＋lga4＝lg(a3a4)＝lg(a2a5)＝lg10＝1.]等比数列性质的应用【例1】 已知数列{an}为等比数列．(1)若an>0，且a2a4＋2a
4、3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．[解] (1)∵a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，∴a＋2a3a5＋a＝36，∴(a3＋a5)2＝36，又∵an>0，∴a3＋a5＝6.(2)∵a＝a1a3代入已知，得a＝8，∴a2＝2.设前三项为，2,2q，则有＋2＋2q＝7.整理，得2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝.∴或∴an＝2n－1或an＝23－n.在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦．通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体
5、变换，会起到化繁为简的效果．1．在等比数列{an}中，已知a4＋a7＝2，a5a6＝－8，求a1＋a10.[解] 因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8.联立可解得或当时，q3＝－，故a1＋a10＝＋a7q3＝－7；当时，q3＝－2，同理，有a1＋a10＝－7.灵活设项求解等比数列【例2】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．[解] 法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，，由条件得解得或所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数
6、为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设四个数依次为－a，，a，aq(a≠0)，由条件得解得或当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝3，q＝时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.合理地设出所求数中的三个数，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d．2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．[解] 设三个数依次为，a，aq，∵·a·aq＝5
7、12，∴a＝8.∵＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.由递推公式转化为等比数列求通项[探究问题]1．如果数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，你能判断出{an}是等差数列，还是等比数列吗？[提示] 由等差数列与等比数列的递推关系，可知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．2．在探究1中，若将an＋1＝2an＋1两边都加1，再观察等式的特点，你能构造出一
