2019_2020学年高中数学第2章数列2.3.1等比数列(第2课时)等比数列的性质学案新人教B版必修5

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1、第2课时 等比数列的性质学习目标核心素养1.掌握等比数列的性质及其应用.(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式.(难点)1.通过等比数列性质的学习,培养学生的逻辑推理的素养.2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习,提升学生的数学运算素养.1.“子数列”性质对于无穷等比数列{an},若将其前k项去掉,剩余各项仍为等比数列,首项为ak+1,公比为q;若取出所有的k的倍数项,组成的数列仍为等比数列,首项为ak,公比为qk.2.等比数列项的运算性质在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am·an=ap·aq.

2、①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am·an=a.②对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=….3.两个等比数列合成数列的性质若数列{an},{bn}均为等比数列,c为不等于0的常数,则数列{can},{an·bn},也为等比数列.4.等比数列的单调性公比q单调性首项a1q>100递增数列递减数列常数数列摆动数列a1<0递减数列递增数列1.已知等比数列{an},a1=1,a3=,则a5等于(  )A.±  B.-C.D.±C [在等比数列中,a=a1·a5,所以a5==

3、.]2.已知在等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则等于(  )A.B.C.D.D [由a2·a8=a4·a6=6,a4+a6=5,a6<a4,得a6=2,a4=3,==,故选D.]3.若a,b,c既成等差数列,又成等比数列,则它们的公比为________.1 [只有非零常数列才满足题意,所以公比q=1.]4.正项等比数列{an}中,a2a5=10,则lga3+lga4=________.1 [lga3+lga4=lg(a3a4)=lg(a2a5)=lg10=1.]等比数列性质的应用【例1】 已知数列{an}为等比数列.(1)若an>0,且a2a4+2a

4、3a5+a4a6=36,求a3+a5的值;(2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.[解] (1)∵a2a4+2a3a5+a4a6=36,∴a+2a3a5+a=36,∴(a3+a5)2=36,又∵an>0,∴a3+a5=6.(2)∵a=a1a3代入已知,得a=8,∴a2=2.设前三项为,2,2q,则有+2+2q=7.整理,得2q2-5q+2=0,∴q=2或q=.∴或∴an=2n-1或an=23-n.在等比数列的有关运算中,常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法,往往是建立a1,q的方程组,这样解起来很麻烦.通过本例可以看出:结合等比数列的性质进行整体

5、变换,会起到化繁为简的效果.1.在等比数列{an}中,已知a4+a7=2,a5a6=-8,求a1+a10.[解] 因为数列{an}为等比数列,所以a5a6=a4a7=-8.联立可解得或当时,q3=-,故a1+a10=+a7q3=-7;当时,q3=-2,同理,有a1+a10=-7.灵活设项求解等比数列【例2】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.[解] 法一:设四个数依次为a-d,a,a+d,,由条件得解得或所以,当a=4,d=4时,所求四个数为0,4,8,16;当a=9,d=-6时,所求四个数

6、为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二:设四个数依次为-a,,a,aq(a≠0),由条件得解得或当a=8,q=2时,所求四个数为0,4,8,16;当a=3,q=时,所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.合理地设出所求数中的三个数,根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键,一般地,三个数成等比数列,可设为,a,aq;三个数成等差数列,可设为a-d,a,a+d.2.三个数成等比数列,其积为512,如果第一个数与第三个数各减去2,则这三个数成等差数列,求这三个数.[解] 设三个数依次为,a,aq,∵·a·aq=5

7、12,∴a=8.∵+(aq-2)=2a,∴2q2-5q+2=0,∴q=2或q=,∴这三个数为4,8,16或16,8,4.由递推公式转化为等比数列求通项[探究问题]1.如果数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1(n∈N+),你能判断出{an}是等差数列,还是等比数列吗?[提示] 由等差数列与等比数列的递推关系,可知数列{an}既不是等差数列,也不是等比数列.2.在探究1中,若将an+1=2an+1两边都加1,再观察等式的特点,你能构造出一

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