2018版高中数学 第2章 数列 2.3.1 第2课时 等比数列的性质学案 新人教B版必修5

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1、第2课时　等比数列的性质1.掌握等比数列的性质及其应用.(重点)2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.(难点、易错点)3.能用递推公式求通项公式.(难点)[基础·初探]教材整理　等比数列的性质阅读教材P47探索与研究及P48练习B第1题，完成下列问题.1.“子数列”性质对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk.2.等比数列项的运算性质在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·

2、aq.①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am·an＝a.②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….3.两等比数列合成数列的性质若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{an·bn}，也为等比数列.1.等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝________.【解析】　∵{an}是等比数列，∴a2a6＝a＝42＝16.【答案】　162.若a，b，c既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________.【

3、解析】　只有非零常数列才满足题意，∴公比q＝1.【答案】　13.正项等比数列{an}中，a2a5＝10，则lga3＋lga4＝________.【解析】　lga3＋lga4＝lg(a3a4)＝lg(a2a5)＝lg10＝1.【答案】　14.在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝16，则a10＝________.【解析】　∵数列{an}是等比数列，∴a10·a2＝a，即a10＝＝＝128.【答案】　128[小组合作型]等比数列性质的应用　已知{an}为等比数列，(1)等比数列{an}满足a2a4＝，求a1aa5；(2)若an>0，a2a4＋2

4、a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值.【精彩点拨】　利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq求解.【自主解答】　(1)等比数列{an}中，因为a2a4＝，所以a＝a1a5＝a2a4＝，所以a1aa5＝.(2)由等比中项，化简条件得a＋2a3a5＋a＝25，即(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5＝5.(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a

5、10＝log3(a1a2…a10)＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]＝log395＝10.有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解.但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用.[再练一题]1.已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8.求a1＋a10.【导学号：18082033】【解】　因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，联立解得或所以q3

6、＝－或q3＝－2，故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.灵活设元求等比数列　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数.【精彩点拨】　根据前三项成等比数列，可对称性设为，a，aq，也可依据后三项成等差数列设为a－d，a，a＋d，然后列方程组求解.【自主解答】　法一：设前三个数为，a，aq，则·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6.因此前三个数为，6,6q.由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数

7、为4－d,4,4＋d，则第一个数为(4－d)2，由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6，所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.巧设等差数列、等比数列的方法：,(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2.(2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，，aq，aq3.[再练一题]2.三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【解】　设三个数依次为，a，aq，∵·a

8、·aq＝512，∴a＝8.∵＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]由递推公式转化为等比数列求通项探究