2020版高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列（第2课时）等比数列的性质学案（含解析）新人教B版必修5

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1、第2课时　等比数列的性质学习目标　1.灵活应用等比数列的通项公式推广形式及变形.2.理解等比数列的有关性质，并能用相关性质简化计算.知识点一　等比数列通项公式的推广和变形等比数列{an}的公比为q，则an＝a1·qn-1①＝am·qn-m②＝·qn③其中当②中m＝1时，即化为①.当③中q＞0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数．知识点二　等比数列常见性质(1)对称性：a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…＝am·an-m+1(n>m且n，m∈N＋)；(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an；(3)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列；(4)在等

2、比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列；(5)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2.(6)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.1．an＝amqn-m(n，m∈N＋)，当m＝1时，就是an＝a1qn-1.(　√　)2．等比数列{an}中，若公比q<0，则{an}一定不是单调数列．(　√　)3．若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．(　×　)4．若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公

3、比相同，则{an}是等比数列．(　×　)题型一　等比数列通项公式的推广应用例1　已知等比数列{an}中．(1)若a4＝2，a7＝8，求an；(2)若{an}为递增数列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求通项公式an.解　(1)∵＝q7-4＝，即q3＝4，∴q＝，∴(n∈N＋)．(2)由a＝a10＝a5·q10-5，且a5≠0，得a5＝q5，即a1q4＝q5，又q≠0，∴a1＝q.由2(an＋an＋2)＝5an＋1得，2an(1＋q2)＝5qan，∵an≠0，∴2(1＋q2)＝5q，解得q＝或q＝2.∵a1＝q，且{an}为递增数列，∴∴an＝2·2n-1＝2n(n∈N＋)．反

4、思感悟　(1)应用an＝amqn－m，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a1.(2)等比数列的单调性由a1，q共同确定，但只要单调，必有q>0.跟踪训练1　已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7等于(　　)A．21B．42C．63D．84答案　B解析　设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.题型二　等比数列的性质及其应用例2　已知{an}为等比数列．(1)若an>0，a2a4＋2

5、a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．解　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.(2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10.反思感悟　抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题．跟踪训练2　设各项均为正数

6、的等比数列{an}满足a4a8＝3a7，则log3(a1a2…a9)等于(　　)A．38B．39C．9D．7答案　C解析　∵a4·a8＝a5·a7＝3a7且a7≠0，∴a5＝3，∴log3(a1a2…a9)＝log3a＝log339＝9.题型三　由等比数列衍生的新数列例3　已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于(　　)A．4B．6C．7D．5答案　D解析　∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝5×10，又{an}各项均为正数，∴a4a5a6＝

7、5.反思感悟　借助新数列与原数列的关系，整体代换可以减少运算量．跟踪训练3　等比数列{an}中，若a12＝4，a18＝8，则a36为(　　)A．32B．64C．128D．256答案　B解析　由等比数列的性质可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比数列，且＝2，故a36＝4×24＝64.等比数列的实际应用典例　某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表