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《高中数学 2.4 等比数列（第2课时）学案 新人教a版必修5 (2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.4 等比数列(第2课时)学习目标灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情首先回忆一下上一节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即: . 2.等比数列的通项
2、公式: . 二、信息交流,揭示规律1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G=±(a,b同号).如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则 ,反之,若G2=ab,则,即a,G,b成等比数列. (1)在等比数列{an}中,是否有=an-1an+1(n≥2)?(2)如果数列{an}中,对于任意的正整数n(n≥2),都有=an-1an+1,那么{an}一定是等比数列吗?分析:(1)由{an}是等比数列,知,所以有=an-1an+1(n≥2);(2)当数列为0,0,0,0,…时,
3、仍有=an-1an+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{an}中的每一项均不为零,且=an-1an+1(n≥2,n∈N),则数列{an}是等比数列,反之成立.2.几个性质(1)已知a1,a2,a3,…,an是公比为q的等比数列,新数列an,an-1,…,a2,a1也是等比数列吗?分析:由等比数列的定义可得=…==q.所以=…=,由此可以看出an,an-1,…,a2,a1是从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于,所以是首项为 ,公比为 的等比数列. (2)已知无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q.①依次取出数列{an}的所有奇数项,组成一个新数列
4、,这个数列还是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?②数列{can}(其中常数c≠0)是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?分析:①由=q,得an+1=anq,a3=a2q=a1q2,所以=q2;a5=a4q=a3q2,所以=q2;以此类推,可得,=q2,所以数列{an}的所有奇数项组成的数列是首项为 ,公比为 的等比数列. ②因为=…==q,所以数列{can}(c≠0)是首项为ca1,公比为q的等比数列.(3)已知数列{an}是等比数列.①=a3a7是否成立?=a1a9成立吗?②=an-1an+1(n>1)是否成立?③=an-kan+k(n>k>0)是否
5、成立?④在等比数列中,m+n=p+k,am,an,ap,ak有什么关系呢?分析:①设数列{an}的公比为q,则a3=a1q2,a5=a1q4,a7=a1q6,q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=q8,所以=a3a7,同理=a1a9.②=an-1an+1(n>1)成立.③=an-kan+k(n>k>0)成立.④由等比数列定义,得am=a1qm-1,an=a1qn-1,ap=a1qp-1,ak=a1qk-1,am·an=qm+n-2,ap·ak=qp+k-2,则aman=apak.结论:若m+n=p+k,则 . 三、运用规律,解决问题【例1】等比数列{an}中,(1)已知
6、a2=4,a5=-,求数列{an}的通项公式;(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例2】如果数列{an},{bn}是项数相同的等比数列,那么{an·bn}也是等比数列.【例3】设a,b,c,d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.【例4】若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.四、变式训练,深化提高变式训练1:等比数列{an}中,若a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11= . 变式训练2:等比数列{an}中,若a1+a2+a3=7,a1·a2·a3=8,则an=
7、. 变式训练3:已知数列{an}为等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= . 变式训练4:三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.=q(q≠0)2.an=·qn-1(a1·q≠0),an=·qn-m(am·q≠0)二、信息交流,揭示规律1.⇒G2=ab⇒G=±2.(1)an (2)①a1 q2(3)aman=apak(m
