高中数学 2.4等比数列（第1课时）学案设计 新人教a版必修5

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1、第二章　数列2.4　等比数列2.4　等比数列(第1课时)学习目标1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念.2.能根据定义判断一个数列是不是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件;能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导等比数列的通项公式.合作学习一、设计问题,创设情境1.复习等差数列的相关内容:定义: 通项公式:an=a1+(n-1)d,(n∈N*).前n项和公式:Sn==na1+d,(n∈N*).问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列1,2,4,8,…;1,,…;-1,1,-

2、1,1,…思考:这三个数列是等差数列吗?各个数列的各项之间有什么关系?二、信息交流,揭示规律与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么?1.定义:如果一个数列从第2项起,　　　　　　　,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0). 2.数学表达式:　　　　　　　　　　　　　. 从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成立?结论:等比数列各项均不为零,公比q≠0.3.通项公式:等比数列{an}的首项为a1,公比为q,a2=a1q,a3=a2q=a1q2

3、,a4=a3q=a2q2=a1q3,以此类推,可以得到an用a1和q表示的数学表达式吗?归纳猜测得到:　　　　　　　　　　. 三、运用规律,解决问题【例1】判断下列数列是否为等比数列:(1)1,1,1,1,1;(2)0,1,2,4,8;(3)1,-,-,….【例2】某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.这种物质的半衰期为多长(精确到1年)?【例3】(1)一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项;(2)一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项.四、变式训练,深化提高变式训练

4、1:已知等比数列{an}中an+1>an,且a3+a7=3,a2·a8=2,则等于(　　)A.　　　　　　　　B.　　　　　　　　C.　　　　　　　　D.2变式训练2:已知等比数列{an}的公比为正数,且a3·a9=2,a2=1,则a1等于(　　)A.B.C.D.2变式训练3:在等比数列{an}中,a5=-16,a8=8,则a11等于(　　)A.-4B.±4C.-2D.±2五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等

5、差数列的公差,公差通常用字母d表示.二、信息交流,揭示规律1.每一项与它的前一项的比等于同一常数2.=q(n∈N*)3.an=a1qn-1三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列;(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;(3)数列的首项为1,公比为-,所以是等比数列.【例2】解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是an,那么:经过1年,剩留量为a1=1×0.84=0.84,经过2年,剩留量为a2=0.84a1=0.84×0.84=0.842,经过3年,剩留量为a3=0.84a2

6、=0.84×0.842=0.843,……经过n年,剩留量为an=0.84an-1.因此an构成一个等比数列{an},其中a1=0.84,q=0.84.设an=0.5,则0.84n=0.5两边取对数,得lg0.84n=lg0.5,于是nlg0.84=lg0.5,n=用计算器算得n≈4.答:这种物质的半衰期大约为4年.【例3】解:(1)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么两式相比得q=,代入其中一个方程,得a1=,因此,a2=a1q==8.(2)设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么a9=a1q8,即=a1,解得a1=2916.

7、四、变式训练,深化提高变式训练1:分析:在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义,列出一个或多个等式来求解.由a2·a8=a3·a7,得解得因此=2.选D.答案:D变式训练2:分析:设等比数列{an}的公比为q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2=2,又因为等比数列{an}的公比为正数,所以q=,故a1=,选B.答案:B变式训练3:分析:设等比数列{an}的公比为q,由已知得a8=a5q3,即8=(-16)×q3,q3=-,所以a11=a8·q3=8×=-4.选A.答案:A五、反思小结,观点提炼略