高中数学 2.4 等比数列学案 新人教a版必修5

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1、2.4等比数列学案课内探究学案（一）学习目标1.明确等比数列的定义；2.掌握等比数列的通项公式，会解决知道，，，n中的三个，求另一个的问题．教学重点1.等比数列概念的理解与掌握；2.等比数列的通项公式的推导及应用．教学难点等差数列＂等比＂的理解、把握和应用．（二）学习过程1、自主学习、合作探究1.等差数列的证明：①（）；②（、），；③证明为常数（对于适用）；④证明。2.当引入公比辅助解题或作为参数时，注意考虑是否需要对和进行分类讨论。3.证明数列是等比数列、不是等比数列，讨论数列是否等比数列，求解含参等比数列中的参数这四类问题同源。4.注意巧用等比数列的主

2、要性质，特别是（）和（）。5.三数成等比数列，一般可设为、、；四数成等比数列，一般可设为、、、；五数成等比数列，一般可设为、、、、。2、精讲点拨三、典型例题例1数列为各项均为正数的等比数列，它的前项和为80，且前项中数值最大的项为54，它的前项和为6560，求首项和公比。解：若，则应有，与题意不符合，故。依题意有：得即得或（舍去），。由知，数列的前项中最大，得。将代入（1）得（3），由得，即（4），联立（3）（4）解方程组得。例2（1）已知为等比数列，，，求的通项公式。（2）记等比数列的前项和为，已知，，，求和公比的值。解：（1）设等比数列的公比为（），，

3、则，即也即，解此关于的一元方程得或。，或。（2）在等比数列中，有，又，联立解得或，由此知，而，从而解得或。例3已知数列，其中，且数列（为常数）为等比数列，求常数。解：为等比数列，那么，将代入并整理得，解之得或。例4设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。解：设、分别是公比为、（）的两个等比数列，要证明不是等比数列，我们只需证即可。事实上，，，又、，，数列不是等比数列。3、反思总结4当堂检测1.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()　　　　　　　　　　　2.已知是等比数列，，则3.若实数、、成等比数列，则函数与轴的交点的个数为（）无法

4、确定4.在数列中，，且是公比为（）的等比数列，该数列满足（），则公比的取值范围是（）5.设数列满足（，，），且，则__________。6.设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则__________。7.设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。8.设两个方程、的四个根组成以2为公比的等比数列，则________。9.设数列为等比数列，，已知，。（1）求等比数列的首项和公比；（2）求数列的通项公式。10.设数列的前项和为，已知（1）证明：当时，是等比数列；（2）求的通项公式。11.已知数列和满足：，，其中为实数，为正整数。（1）对任意实

5、数，证明数列不是等比数列；（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；（3）设,为数列的前项和。是否存在实数，使得对任意正整数，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。【当堂检测】1.解析：设数列的公比为，那么，函数（）的值域为，从而求得的取值范围。2.解析：等比数列的公比，显然数列也是等比数列，其首项为，公比，。3.解析：、、成等比数列，，二次函数的判别式，从而函数与轴无交点。4.，，而，，即，解得，而，故公比的取值范围为。5.解析：，即，也即，从而数列是公比为的等比数列。。6.解析：的两根分别为和，，从而、，。。7.解析：，，。8.解析：设

6、该等比数列为、、、，，，从而、、，。9.解：（1）对于等式，令得；令得，，。（2），则①①得②②①得：。10.解：（1）证明：由题意知，且，两式相减得，即①当时，由①知，于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（2）当时，由（1）知，即；当时，由①得11.解：（1）证明：假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即，矛盾。所以不是等比数列.（2）解：。又，所以当时，，这时不是等比数列；当时，由上可知，。故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。（3）由（2）知，当时，，，不满足题目要求。，故知，可得，要使对任意正整数成立，即，得①令，则当为正奇数时，；当为

7、正偶数时，。所以的最大值为，最小值为。于是，由①式得。当时，由知，不存在实数满足题目要求；当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。