2020_2021学年高中数学第2章数列2.4等比数列第1课时等比数列学案新人教A版必修5.doc

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1、第1课时　等比数列学习目标核心素养1.理解等比数列的定义．(重点)2.掌握等比数列的通项公式及其应用．(重点、难点)3.熟练掌握等比数列的判定方法．(易错点)1.通过等比数列的通项公式及等比中项的学习及应用，体现了数学运算素养．2.借助等比数列的判定与证明，培养逻辑推理素养．1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).(2)符号语言：＝q(q为常数，q≠0，n∈

2、N*).思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？[提示]　不能．2．等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．(2)结论：G叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝ab．思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？[提示]　不一定，如数列0，0，5就不是等比数列．3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1．这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的

3、通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列{·qn}中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．-8-思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式．[提示]　还可以用累乘法．当n>2时，＝q，＝q，…，＝q，∴an＝a1··…·＝a1·qn－1.1．2＋和2－的等比中项是(　　)A．1　　　　B．－1　　　　C．±1　　　　D．2C　[设2＋和2－的等比中项为a，则a2＝(2＋)(2－)＝1.即a＝±1.

4、]2．下列数列为等比数列的序号是．①2，22，3×22；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0，0，0，0，0.②　[≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0，0，0，0，0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝．　[由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②所以②÷①得q3＝，所以q＝.]4．在等比数

5、列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝．－729　[由等比数列定义知＝＝＝q.所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.]等比数列的通项公式及应用【例1】　在等比数列{an}中．-8-(1)a1＝，q＝，an＝，求项数n；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.[解]　(1)因为an＝a1qn－1，所以×＝，即＝，解得n＝5.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.1．等比

6、数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．1．(1)在等比数列{an}中，若它的前三项分别为5，－15，45，求a5；(2)已知等比数列{an}为递增数

7、列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，求an.[解]　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405.(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.a＝a10⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.-8-等比中项【例2】　(1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)A．±4　　　B．4　　　C．±　　

8、　D．(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．思路探究：(1)用定义求等比中项．(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．(1)A　[由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.](2)[证明]　b是a，c的等比中项，则b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2