2018年高中数学 数列2.4等比数列第1课时等比数列学案新人教a版

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1、第1课时　等比数列学习目标：1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)．[自主预习·探新知]1．等比数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．(2)符号语言：＝q(q为常数，q≠0，n∈N*)．思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？[提示]　不能．2．等比中项(1)前提：三个数a，G，b成等比数列．

2、(2)结论：G叫做a，b的等比中项．(3)满足的关系式：G2＝ab.思考：当G2＝ab时，G一定是a，b的等比中项吗？[提示]　不一定，如数列0,0,5就不是等比数列．3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有公式an＝a1·qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列·qn中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点．思考：除了课本上采用

3、的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式．[提示]　还可以用累乘法．当n>2时，＝q，＝q，…，＝q，∴an＝a1··……·＝a1·qn－1.[基础自测]1．思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　)(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　)(3)常数列一定为等比数列．(　　)(4)任何两个数都有等比中项．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据

4、等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．2．下列数列为等比数列的序号是________．①2,22,3×22；②，，，，(a≠0)；③s－1，(s－1)2，(s－1)3，(s－1)4，(s－1)5；④0,0,0,0,0.②　[≠，所以①不是等比数列；②是首项为，公比为的等比数列；③中，当s＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]3．等比数列{an}中，a2＝2，a5＝，则公比q＝________.

5、【导学号：91432189】　[由定义知＝＝＝＝q，则a2＝a1q＝2，①a5＝a4q＝a3q2＝a2q3＝a1q4＝，②所以②÷①得q3＝，所以q＝.]4．在等比数列{an}中，a4＝27，q＝－3，则a7＝________.－729　[由等比数列定义知＝＝＝q.所以a5＝a4q＝27×(－3)＝－81，a6＝a5q＝－81×(－3)＝243，a7＝a6q＝243×(－3)＝－729.][合作探究·攻重难]等比数列的通项公式及应用　在等比数列{an}中．(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.

6、【导学号：91432190】[解]　(1)由等比数列的通项公式得，a6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.[规律方法]　1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后

7、求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．[跟踪训练]1．在等比数列{an}中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；(2)若a4＝2，a7＝8，求an.[解]　(1)∵a5＝a1q4，而a1＝5，q＝＝－3，∴a5＝405.(2)因为所以由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝，所以an＝a1qn－1＝2.等比中项　(1)等比数列{an}中，a1＝，q＝2，则a4与a8的等比中项是(　　)A．±4　　　B．4　　　C．±　　　D.(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比

8、中项.【导学号：91432191】思路探究：(1)用定义求等比中项．(2)证明(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)即可．(1)A　[由an＝·2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与