2019_2020学年高中数学课时分层作业6函数的极值与导数（含解析）新人教A版

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1、课时分层作业(六)　函数的极值与导数(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有(　　)A．1个　　　　　B．2个C．3个D．4个B　[依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.]2．函数y＝x3－3x

2、2－9x(－2＜x＜2)有(　　)A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值C　[由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.∴当x＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2,2)，故无极小值．]3．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A．－4B．－2C．4D．2D　[∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；当x∈(－2

3、,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.]4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9xB　[∵三次函数过原点，故可设为y＝x3＋bx2＋cx，∴y′＝3x2＋2bx＋c.又x＝1,3是y′＝0的两个根，∴，即∴y＝x3－6x2＋9x，又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)∴当x＝1时，f(x)极大值＝4，当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B.]5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在

4、(0,1)内有且只有一个极小值，则(　　)A．00D．b

5、x＝－a，即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.]8．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．(－2,2)　[令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，则极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2.如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．]三、解答题9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，(1)法一：∵x＝±1是函数的极值

6、点，∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系知又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，①3a－2b＋c＝0，②又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.(2)f(x)＝x3－x，∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．当x＜－1或x＞1时f′(x)＞0，当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数取

7、得极小值，x＝1为极小值点．10．设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值．[解]　(1)因为f(x)＝alnx＋＋x＋1，故f′(x)＝－＋.由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′(1)＝0，从而a－＋＝0，解得a＝－1.(2)由(1)知f(x)＝－lnx＋＋x＋1(x＞0)，f′(x