2018年秋高中数学 课时分层作业6 函数的极值与导数 新人教A版选修2-2

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1、课时分层作业(六) 函数的极值与导数(建议用时:40分钟)[基础达标练]一、选择题1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图1310所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有(  )图1310A.1个    B.2个C.3个D.4个B [依题意,记函数y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1,x2,x3,x4,当a<x<x1时,f′(x)>0;当x1<x<x2时,f′(x)<0;当x2<x<x4时,f′(x)≥0;当x4<x<b时,f′(x)<0.因此,函数f(x)分别在x=x1

2、,x=x4处取得极大值,选B.]2.函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有(  )【导学号:31062053】A.极大值5,极小值-27B.极大值5,极小值-11C.极大值5,无极小值D.极小值-27,无极大值C [由y′=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3.当x<-1或x>3时,y′>0;由-1<x<3时,y′<0.∴当x=-1时,函数有极大值5;3∉(-2,2),故无极小值.]3.已知a是函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=(  )A.-4B.-2C.4D.2D [∵f(x)=x3-12x,∴f′(x)=3x2-12,令f′(

3、x)=0,则x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增;当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,则f(x)单调递减,∴f(x)的极小值点为a=2.]4.当x=1时,三次函数有极大值4,当x=3时有极小值0,且函数过原点,则此函数是(  )A.y=x3+6x2+9xB.y=x3-6x2+9xC.y=x3-6x2-9xD.y=x3+6x2-9xB [∵三次函数过原点,故可设为y=x3+bx2+cx,∴y′=3x2+2bx+c.又x=1,3是y′=0的两个根,∴,即∴y=x3-6x2+9x,又y′=3x2-

4、12x+9=3(x-1)(x-3)∴当x=1时,f(x)极大值=4,当x=3时,f(x)极小值=0,满足条件,故选B.]5.函数f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)内有且只有一个极小值,则(  )【导学号:31062054】A.00D.b

5、即解得a=2,b=-4,∴a+b=2-4=-2.[答案] -27.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为________.【导学号:31062055】[解析] ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a,令y′=ex+a=0,则ex=-a,即x=ln(-a),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1.[答案] (-∞,-1)8.若直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三个公共点,则a的取值范围是________.[解析] 令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1,则极大值为f(-1)=2,极小值为f(1)=-2.如图

6、,观察得-2<a<2时恰有三个不同的公共点.[答案] (-2,2)三、解答题9.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1处取得极值,且f(1)=-1.(1)试求常数a,b,c的值;(2)试判断x=±1是函数的极大值点还是极小值点,并说明理由.【导学号:31062056】[解] f′(x)=3ax2+2bx+c,(1)法一:∵x=±1是函数的极值点,∴x=±1是方程3ax2+2bx+c=0的两根.由根与系数的关系知又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,③由①②③解得a=,b=0,c=-.法二:由f′(1)=f′(-1)=0,得3a+2b+

7、c=0,①3a-2b+c=0,②又f(1)=-1,∴a+b+c=-1,③由①②③解得a=,b=0,c=-.(2)f(x)=x3-x,∴f′(x)=x2-=(x-1)(x+1).当x<-1或x>1时f′(x)>0,当-1<x<1时,f′(x)<0.∴函数f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数,在(-1,1)上是减函数.∴当x=-1时,函数取得极大值,x=-1为极大值点;当x=1时,函数取得极小值,x=1为极小值点.10.设f(x)=alnx++x+1,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于y轴.(1)求a的值;(2)求

8、函数f(x)的极值.[解] (1)因为f(x)=alnx++x+1,故f′(x)=-+.由于曲线y=f(x)

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