2015届高考数学总复习（基础过关+能力训练）：立体几何初步　空间向量在立体几何中的应用（含答案）

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1、第八章　立体几何初步第6课时　空间向量在立体几何中的应用[理科专用]1.设平面α的法向量为[1，2，－2]，平面β的法向量为[－2，－4，k]，若α∥β，则k＝________．答案：4解析：α∥β[－2，－4，k]＝λ[1，2，－2]，∴λ＝－2，k＝4.2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________．答案：30°解析：设l与α所成角为θ，则sinθ＝

2、cos120°

3、＝.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、CC1的中点，则异面直线A1C与E

4、F所成角的余弦值为________．答案：解析：建立空间直角坐标系，求出异面直线A1C与EF所成角的余弦值为.4.已知a＝[x，4，1]，b＝[－2，y，－1]，c＝[3，－2，z]，a∥b，b⊥c，则[a＋c]与[b＋c]所成角的余弦值为________．答案：－解析：因为a∥b，所以＝＝，解得x＝2，y＝－4，这时a＝[2，4，1]，b＝[－2，－4，－1]．因为b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝[3，－2，2]．所以a＋c＝[5，2，3]，b＋c＝[1，－6，1]，设[a＋c]与[b＋c]所成角为θ，因此cosθ＝＝－

5、.5.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为________．答案：解析：如图建立空间直角坐标系，则B[4，0，0]，C[4，4，0]，C1[4，4，2]，显然AC⊥平面BB1D1D，∴＝[4，4，0]为平面BB1D1D的一个法向量．又＝[0，4，2]，∴cos〈，〉＝＝＝.即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.6.已知空间三点A[－2，0，2]，B[－1，1，2]，C[－3，0，4]，设a＝，b＝.若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，则k＝________．答案：－或2解

6、析：a＝[－1＋2,1－0，2－2]＝[1，1，0]，b＝[－3＋2，0－0，4－2]＝[－1，0，2]．ka＋b＝[k，k，0]＋[－1，0，2]＝[k－1，k，2]，ka－2b＝[k，k，0]－[－2，0，4]＝[k＋2，k，－4]．∵[ka＋b]⊥[ka－2b]，∴[k－1，k，2]·[k＋2,k，－4]＝[k－1][k＋2]＋k2－8＝0，即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.7.在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．答案：30°解析：如图，以O为原

7、点建立空间直角坐标系Oxyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A[a，0，0]，B[0，a，0]，C[－a，0，0]，P，则＝[2a，0，0]，＝，＝[a，a，0]，设平面PAC的法向量为n，可求得n＝[0，1，1]，则cos〈，n〉＝＝＝，∴〈，n〉＝60°，∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，点O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任一点，则异面直线OP与AM所成的角的大小为________．答案：解析：以D为原点，、、所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐

8、标系，不妨设

9、

10、＝1，则A[1，0，0]，M，O，P[1，y，1]，则＝，＝，∴·＝0，∴OP⊥AM.9.[2014·南京期初调研]在底面边长为2，高为1的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BC、C1D1的中点．[1]求异面直线A1E、CF所成的角；[2]求平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值．解：[1]以{，，}为基底，建立空间直角坐标系Dxyz，则D[0，0，0]，C[0，2，0]，A1[2，0，1]，E[1，2，0]，F[0，1，1]，可得＝[0，－1，1]，＝[－1，2，－1]，所以cos〈，〉＝＝＝－，故异面直线A1

11、E、CF所成的角为.[2]＝[－2，1，0]，设向量n＝[x，y，z]为平面A1EF的法向量，则即取n＝[1，2，3].由于正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DC⊥平面ADD1A1，所以＝[0，2，0]为平面ADD1A1的法向量．又cos〈n，〉＝＝＝，所以平面A1EF与平面ADD1A1所成锐二面角的余弦值为.10.[2013·天津卷]如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．[1]证明：B1C1⊥CE；[2]求二面角B1CEC1的正弦值；[3]设

12、点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为.求线段AM的长