浅谈空间向量在立体几何中初步应用.doc

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1、空间向量在立体几何中初步应用大境中学赵玉梅一、向量产生的历史背景综述早在二千多年前，古希腊著名科学家亚里士多德在他的力学研究中发现，作用在物体同一点上的两个力，其结果不是两个力大小直接相加，而是遵循着“平行四边形法则”。所以向量的概念萌芽于二千多年前，亚里士多德是运用向量知识的先行者。但是德国学者施提文(1548——1620)在他的静力学研究中应用了这个法则，意大利著名科学家伽利略(1564—一1642)清楚地叙述了这个法则，我们习惯上把这个法则称为阿基米德的“平行四边形法则”。在向量理论体系的建立过程中，几位数学、物理学家不懈努力的轶事。(1)复数的几何表

2、示(或几何解释)1545年意大利的数学家卡当在他的著作《大术》首次提出5+口？，5-&B这样的数，用现代的写法就是5土VIM。1797年挪威数学家维塞尔(1745——1818)提出了对复数的一个几何解说。这方面的工作除了维塞尔外，还有瑞士的阿工(1808年提出)和著名的德国数学家高斯(1831年提出复平面)，所以复数的几何表示的发现在数学史上是一件不朽的大事，它使虚幻的数有了着落，有了实际的模型；平面向量和复数成对应，向量可以借助复数进行加、减、乘运算，而且这些运算都具有清晰的几何意义(如加法符合平行四边形法则，乘法相当于向量作旋转及伸缩长度的几何变换)，这

3、对建立平面向量理论提供了一个个理想的模式。(2)哈密顿的复数规范化与寻找“三维复数”的工作。英国著名数学家、物理学家哈密顿(1805——1865)进一步对复数规范化,他把a+bi直接写成(a,b),而且定义了它们的四则运算：加、减法：(a,b)土(c,d)=(ci土c,b土d)；乘法：・(c,d)=(ac—bd十be)；讥、七/八/八(ac+bebe—ad除法：(a,b)〜(c,d)=(—―,—)oc-+J-c~哈密顿寻找“三维复数”没有成功，但是著名的数学、物理学家麦克斯韦(1831——1870)他将四元数中的数量部分与向量部分分开来作为各自的实体处理，他

4、把四元数的向量部分独立出来发展成为更符合物理需要的更简便的数学工具，这就是3维向量。(1)3维向量分析的产生。麦克斯韦把向量作为实体从哈密顿的四元数中分离出来时，还是把向量看作四元数的向量部分来叙述的。真正对向量作为一门独立的数学分支进行研究，是由美国的吉布斯(1839——1903)和英国人亥维赛(1850——1925)分别进行的，他们的思路基本是一致的，即把向量v=ai+bj+ck(a,b,cg/?),建立了现在的向量的线性运算，以及向量的内积、外积等理论体系。由此可见，向量理论体系在十九世纪前后建立。(4)由3维向量到n维向量.德国数学家格拉斯曼(180

5、9-1877)，他认为既然3个有序数组可以表示一个向量，那4个有序数组呢？〃个有序数组呢？于是他大胆地提出宛维向量的概念，并模仿空间向量，建立起相关理论，所以向量从3维到〃维的推广是一种思维上的类比推广。当今市场经济的社会里，〃维向量在商品交易中也有广泛的应用。如某超市经营1000种商品，可按某一种顺序编号，然后把这1000种商品的单价排列起来，构成1000维向量，然后扌巴顾客购买的商品数量也按此顺序排列起来(未购的一律记为零)，则顾客向超市付款额就是两者的数量积。只要把相应的运算程序制成电脑软件，通过运行软件，超市运作有了今天的快捷。再如某航空公司要招聘一

6、批人员，对体格提出10项数字要求，这10个数字按一定顺序排好，就是一个10维向量，然后要求每个应聘人员去体检，把十项结果也按同样的顺序排列起来，也组成一个10维向量，两个向量差的模越小，说明应聘者越接近公司的要求。向量的知识结构三、向量进入中学数学教材的历史进程“在我国的中小学数学教学内容中，80年代教育部《中学实验教材》开始在中学教材中引入向量，1992年上海编写的'一期教材’（陈昌平教授）、是比较早地写入向量知识的，以向量为工具解决立体几何的方法，成为解决计算题和证明题的'通性通法，，丸大降低了解题的技巧性，深受广大师生和学生的认可和欢迎。”当时的“一期

7、教材”初步尝试应用向量的内积，求异面直线所成角的大小等，由于启用了一种新的处理方式，而且思路简洁、有效能算，所以学生对立体几何的学习，充满信心、心情愉悦，不再为“巧添辅助线”而愁眉苦脸。前苏联的学生，由于他们较早的学习向量知识，掌握了运用向量处理几何问题的要领，于是在国际奥林匹克数学竞赛几何题目的解答中，他们屡屡得手。命题专家们为了提高竞赛的公平性而煞费苦心，但是当他们面对应用向量解决几何问题已是游刃有余的前苏联学生时，只能感叹：“防不胜防。”如今的“二期教材”在“一期教材”的基础上，又迈出了可喜的一步，教材又引进了平面的法向量，这样立体几何中所有的距离和角

8、的问题，都能通过向量计算得出。正如吴文俊先生所说：“