空间向量在立体几何中应用

《空间向量在立体几何中应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设DC=a。（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG。依题意得。∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为，∴则而，∴PA//平面EDB。（2）依题意得B（a，a，0），又，故

2、∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且，所以PB⊥平面EFD。（3）解析：设点F的坐标为，则从而所以由条件EF⊥PB知，，即，解得∴点F的坐标为，且∴即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。∵，且∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小为60°。点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．   （2）证明线面平行的方法：   ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；   ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；   ③利用共面向量定理，即

3、证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．   （3）证明面面平行的方法：   ①转化为线线平行、线面平行处理；   ②证明这两个平面的法向量是共线向量．   （4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．   （5）证明线面垂直的方法：   ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；   ②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．   （6）证明面面垂直的方法：   ①转化为线线垂直、线面垂直处理；   ②证明两个平面的法向量互相垂直． 【用空间向量求空间角】 

4、例.正方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。解析：不妨设正方体棱长为2，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F（1，1，2）（1）由，得又，∴，即所求值为。（2）∵∴∴，过C作CM⊥AE于M，则二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴设则，∵∴又∴∴二面角C—AE—F的余弦值的大小为点评：（1）两条异面直线所成

5、的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。 【用空间向量求距离】 例.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且

6、CP

7、=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。解析：（1）方法一：如图，建立空间直角坐标

8、系B—xyz，则A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为方法二：，∴故异面直线AM与PQ所成角的余弦值为（2）∵，∴上的射影的模故M到PQ的距离为（3）设是平面的某一法向量，则，∵∴因此可取，由于，那么点M到平面的距离为，故M到平面的距离为。点评：本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空

9、间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法，供大家参考。（1）平面的法向量的求法：设，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。（2）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线l的方向向量，则直线l与平面所成角的正弦值为。（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。②设分别是二面角的两

10、个平面的法向量，则就是二面角的平面角或其补角。（4）异面直线间距离的求法：是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则。（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。