2015年高考数学总复习教案：8.6空间向量在立体几何中的应用

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1、第八章　立体几何初步第6课时　空间向量在立体几何中的应用(对应学生用书(理)113～115页)考情分析考点新知理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．体会向量方法在研究几何问题中的作用．　　能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.1.(选修21P97习题14改编)若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________．答案：－2或解析：

2、由已知得＝＝，∴8＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝.2.(选修21P89练习3)已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且＝a,＝b,＝c，用a，b，c表示向量＝________．答案：(b＋c－a)解析：如图，＝(＋)＝·[(－)＋(－)]＝(＋－2)＝(＋－)＝(b＋c－a)．3.(选修21P101练习2改编)已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m＝________.答案：－8解析：(2，m，1)·＝0，得m＝－8.4.(选修21P86练习3改编)已知a＝(2，－1

3、，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a、b、c三个向量共面，则实数λ等于________．答案：解析：由于a、b、c三个向量共面，所以存在实数m、n使得c＝ma＋nb，即有(7，5，λ)＝m(2，－1，3)＋n(－1，4，－2)，即(7，5，λ)＝(2m－n，－m＋4n，3m－2n)，∴解得m＝，n＝，λ＝.5.(选修21P110例4改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为________．答案：解析：以A为原点建立平面直角

4、坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，∴＝(0，1，－1)，＝，设平面A1ED的法向量为n1＝(1，y，z)，则∴∴n1＝(1，2，2)．∵平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，∴cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量．(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时把向量n叫做平面α的法向量．2.线面关系的判定直线l1的方

5、向向量为e1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为e2＝(a2，b2，c2)，平面α的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面β的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．(1)如果l1∥l2，那么e1∥e2e2＝λe1a2＝λa1，b2＝λb1，c2＝λc1．(2)如果l1⊥l2，那么e1⊥e2e1·e2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0．(3)若l1∥α，则e1⊥n1e1·n1＝0a1x1＋b1y1＋c1z1＝0．(4)若l1⊥α，则e1∥n1e1＝kn1a1＝kx1，b1＝ky1，c1＝kz1．(5)若

6、α∥β，则n1∥n2n1＝kn2x1＝kx2，y1＝ky2，z1＝kz2．(6)若α⊥β，则n1⊥n2n1·n2＝0x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．3.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角①范围：两条异面直线所成的角θ的取值范围是.②向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为φ，则有cosθ＝

7、cosφ

8、.(2)直线与平面所成的角①范围：直线和平面所成的角θ的取值范围是.②向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝

9、cosφ

10、或c

11、osθ＝sinφ.(3)二面角①二面角的取值范围是[0，π]．②二面角的向量求法：(ⅰ)若AB、CD分别是二面角αlβ的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图①)．(ⅱ)设n1、n2分别是二面角αlβ的两个面α、β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．[备课札记]题型1　空间向量的基本运算例1　如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则＝________.答案：－a＋b＋c解

12、析：＝＋＝＋＝－a＋b＋c.已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝，b＝.(1)求a和b的夹角θ；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．解：∵A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，a＝，b＝，∴a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．(1)∵cosθ＝＝＝－，∴a和b的夹角为arc