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1、空间向量与立体几何总复习一、知识网络构建空间向量的定义及其运算空间向量运算的几何表示（如平行四边形法则）用空间向量表示点、线、面等元素建立空间图形与空间向量的联系利用空间向量运算解决立体几何问题空间向量运算的坐标表示（加减法、数乘、数量积）空间向量定义运算坐标表示加法减法数量积立体几何中的向量方法垂直关系平行关系空间距离空间角二、课标及考纲要求空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程②了解空间向量的概念、基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示
2、④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直空间向量与立体几何空间向量①理解直线的方向向量与平面的法向量②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系的运用③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用三、知识要点及考点精析（一）空间向量及其运算1．空间向量的概念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线
3、向量等．2．空间向量的线性运算（1）空间向量的加法、减法和数乘运算平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：①交换律，即；②结合律，即；③分配律，即及（其中均为实数）．（2）空间向量的基本定理①共线向量定理：对空间向量的充要条件是存在实数，使．②共面向量定理：如果空间向量不共线，则向量c与向量共面的充要条件是，存在惟一的
4、一对实数，使．③空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组，，，使．其中是空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底惟一线性表示（线性组合）．（3）两个向量的数量积两个向量的数量积是ab=
5、a
6、
7、b
8、cos，数量积有如下性质：a,b,c①ae=
9、a
10、cos（e为单位向量）；②aaab=；③aa=
11、a
12、2；④
13、ab
14、
15、a
16、
17、b
18、．数量积运算满足运算律：①交换律，即ab=ba；②与数乘的结合律，即（a）b=
19、（ab）；③分配律，即（a+b）c=ac+bc．3．空间向量的坐标运算（1）给定空间直角坐标系和向量a，存在惟一的有序实数组使，则叫作向量a在空间的坐标，记作．（2）空间向量的直角坐标运算律①若，则，，ab．，．②若，则．即一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．4．直线的方向向量与向量方程（１）位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点，作向量，则点在空间的位置被a所惟一确定，a称为位置向量．（２）方向向量与向量方程：给定一个定点和一个向量a，再任给一个实数，以为起
20、点作向量a，则此向量方程称为动点对应直线的参数方程，向量a称为直线的方向向量．典型例题分析：例1．若=(,1,3),=(1,-,9),如果与为共线向量,则()A．，B．,C．,D．,答案:C例2．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(-1，0，2)，且a＋b与2a-b互相垂直，则的值是()A．1B．C．D．答案:D例3．已知=(2,2,1),=(4,5,3),求平面ABC的单位法向量．解:设平面ABC的法向量n=(x,y,1),则n⊥且n⊥,即n·=0,且n·=0,即即∴n=(,-1,1),单位法向量n=±(,
21、-,)．（二）立体几何中的向量方法1．利用向量法确定直线、平面间的平行、垂直等位置关系设直线的方向向量是，直线的方向向量是，平面的法向量是，平面的法向量是，则有如下结论成立：（1）u1∥u2u1；（2）；（3）∥；（4）；（5）；（6）．第一部分：平行问题①利用空间向量解决线线平行问题（06山东模拟）已知直线平面，直线平面，为垂足．求证：．证明：以点为原点，以射线为非负轴，如图1，建立空间直角坐标系，为沿轴的单位向量，且设．，，，，．，．，即．点评：由向量的共线的充要条件知，只要证明即可．②利用空间向量解决
22、线面平行问题（06山西模拟）已知是正三棱柱，是的中点，求证：平面．证法1：建立如图2的空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则．设平面的法向量为，则．由，，得取得，得．由，得，即平面．证法2：如图3，记，则．，共面．又平面，平面．点评：用向量证明线面平行问题通常有两种方法：①向量与两个不共线的向量共面的充要条件是存在惟一的有序实数对，使．利用共面向量定理可证明线面平行问题，如证法2．②设为平面的法向量
