空间向量在立体几何中的应用教案

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1、空间向量在立体几何中的应用（二）一、教学日标：1.用向量法解决立体儿何中常见的问题（如长度、距离问题）;2.熟练掌握向量的加法、减法法则；3.熟练掌握向量的数量积运算。二、教学重点与难点：重点：求长度、距离尤其点到面的距离；难点：点到血的距离，向量的加法、减法法则以及数量积运算。三、教学过程:1.类似用平而向量解决平而几何问题，我们也可以得岀用空间向量解决空间几何问题（比如：点、直线与平面Z间的位置关系，夹角以及距离问题），步骤如下:（1）建立立体图形为空间向量的联系，用空间向量表示问题小涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（化

2、为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系，以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的儿何意义。（回到图形）2、例题讲解例1：如图1,一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°,那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？解:如图1,不妨设曲二*二"二1，ZDABSM=ZDAAX=60°卿冋堇旳加迭迭则，化为向量问题疋=五+乔+囲AC；二（而+而+石;丫进行向量运算■2・•2■2，■，■■，■■，•=AB+AD+A4,^1

3、{ABAD^ABA^ADAA^=1+1+1+2（cos60°+cos60°+cos60°）所以Hl二衙回到图形问题这个晶体的对角线的长是棱长的衙倍。练习1:（教材P107）.如图，60°的二面角的棱上冇A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,求CD的长.思考2：在例1中，如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的备棱间的夹角都等于a，那么山这个平行六血体的对•角线的长可以确定棱长吗？妇G二q,二.4D二轴二.v,/BAD-0灿=2/）.1^二a由黑二丽+丽：疋

4、二示+孰才+疝・丽+丽可+五可）即『二3『+2（3『co§a）.・.x=ia¥3+6co§a:.这个贱軸酬釧长可酬趙长.练习2：（教材P111）.如图，两条异面直线a,b所成的角为0,在直线a,b上分别取点AJ,E和点A,F,使AA'丄a,且AA」b（AA*称为异面直线a,b的公垂线）.己知AE=m,AF=n,EF=1,求公垂线AA，的长.分析:面面更离转化为点毓离来求思考3：例1中的晶体中相对的两个平而Z间的距离是多少？（提示：求两个平行平而的距离，通常归结为求点到平而的距离或两点间的距离）解：过低作丄平耐C于点乩酗H为麻相对两个竝间的距离.

5、由ZAVAB二出皿二/BADR朋二妙二關:.H在血.疋1（丑+胚$二l+l+2cos60。二3・：AC二©石•疋二盘価+反）二甌•乔+石班二讹刖+眈刖二1.cosAAC二出巴二Xsin乙4/C=—mAC申3A.H=AA.sinZA.AC=—:.所求漑离是1113延伸思考题：如图，己知正方形ABCD的边长为4,E、平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离。解：因为GC丄平而ABCD,四边形ABCD为正方形所以，如图建立空间肓角坐标系o・xyz由题设知C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0)D(4,0,0),E(2,4

6、,0),F(4,2,0),G(0,0,2).EF=(2,-24))、EG=(・2,・4,2)BE=(2,0,0)F分别是AB、AD的中点，GC丄设平面EFG的一个法向量为7=(x,y,z),则•••sinO=cosBE>=甜詞=夙・2="^"3在RTABHE中,

7、BH

8、=

9、BE)-sine=-^Yy^即是点B至U平面GEF的足巨离。理解为：d=

10、BE

11、-sinO=

12、BE

13、-

14、n-BE

15、n*BEl

16、•BE

17、n

18、评注：-若平面(1的斜线AO交a于輕薦平面(X的法向量,#亠OA-u则A到平面a的距离为d—-小结：本节课我们主要学习了用空间向量

19、的方法解决立体儿何小长度与距离问题，在这个过程中也很好地体会了向最的运算(包括加法、减法法则以及数最积运算)。作业：P98/3,P119/B组1教学反思:本节课主要的教学任务是学习利用空间向量的方法解决立体儿何中长度与点到而的距离的问题。长度问题由例1与思考1、2引出，结合两道练习题进行体会；点到面的距离问题由思考3引出结合延伸思考题进行体会。达到了充公训练学生向最加法、减法法则以及数量运算的冃的。存在问题：内容容量设计偏多，导致不能很好地完成教学任务。