高考数学课后限时集训22正弦定理和余弦定理（含解析）理

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1、课后限时集训(二十二)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形B　[法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.]2．在△ABC中，已知b＝40，c＝2

2、0，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定C　[由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]4．(2019·长春模拟)△ABC中，AB

3、＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()A.B.C.或D.或D　[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，即1＝3＋BC2－3BC，解得BC＝1或BC＝2，当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB·BCsinB＝××1×＝.当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB·BCsinB＝××2×＝.总上之，△ABC的面积等于或.]5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝()A.B.C.D.D　[过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝.∵B＝，∴AD＝B

4、D，∴BD＝AD＝，DC＝a，∴AC＝＝a，在△ABC中，由正弦定理得＝，∴sin∠BAC＝，故选D.]二、填空题6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB，则c＝________.4　[由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cosC＝，得－＝，解得c＝4.]7．(2019·青岛模拟)如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．　[∵sin∠B

5、AC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，∴BD＝.]8．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sinC＝4sinA，(ca＋cb)(sinA－sinB)＝sinC(2－c2)，则△ABC的面积为________．　[由a2sinC＝4sinA得ac＝4，由(ca＋cb)·(sinA－sinB)＝sinC(2－c2)得(a＋b)(a－b)＝2－c2，即a2＋c2－b2＝2，所以c

6、osB＝，则sinB＝，所以S△ABC＝acsinB＝.]三、解答题9．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积．[解]　(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cosB＝＝.(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝.所以△ABC的面积为××＝1.10．(2019·郑州模拟)在△ABC

7、中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)．(1)求角B的大小；(2)若b＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．[解]　(1)∵bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)，∴bcosA＝(2c＋a)(－cosB)．由正弦定理可得，sinBcosA＝(－2sinC－sinA)cosB，即sin(A＋B)＝－2sinCcosB＝sinC.又角C为△ABC的内角，∴sinC＞0，∴cosB＝－.又B∈(0，π)，∴B＝.(2)由S△ABC＝acsinB＝，得ac＝4.又b2＝a

8、2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16.∴a＋c＝2，∴△ABC的周长为4＋2.B组　能力提升1．(2019·佛山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为()A.＋1　B.－1　C．4　D．2A　[法一：由余弦定理可得(2)2＝22＋a2－2×2×a×cos，即a2－2a－4＝0，