2020版高考数学一轮复习课后限时集训23正弦定理余弦定理及其应用理含解析北师大版.pdf

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1、课后限时集训(二十三)正弦定理、余弦定理及其应用(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1.如图所示，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC＝50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．503mB．253mC．252mD．502mACABD[因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以B＝30°.由正弦定理可知＝，sinBsinC50AB即＝，解得AB＝502m．]sin30°sin45°12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA＝2sinB，cosC＝－，4c则＝()a6A.6B．23C.3D

2、．21B[在△ABC中，由sinA＝2sinB及正弦定理，得a＝2b，再由cosC＝－及余弦定4aa2＋2－c2a2＋b2－c21121c3c6理，得＝－，将b＝a代入，得＝－，化简整理得2＝，∴＝，2ab42a4a2a22a·2故选B．]3．(2018·永州一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若2sinB＝sin3A＋sinC，cosB＝，且S＝6，则b＝()5△ABCA．2B．3C．4D．5C[在△ABC中，由正弦定理可得，2b＝a＋c，①由余弦定理可得，316b2＝a2＋c2－2ac×＝(a＋c)2－ac，②5534由cosB＝，得sinB＝

3、，5514故S＝ac×＝6，③△ABC25由①②③得，b＝4.故选C.]4．(2018·珠海二模)设锐角△ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为()A．(2，3)B．(1，3)C．(2，2)D．(0,2)A[∵B＝2A，∴sinB＝sin2A＝2sinAcosA.∵a＝1，∴b＝2acosA＝2cosA.又△ABC为锐角三角形，π0＜2A＜，2π∴0＜A＜，2π0＜C＜，2ππ∴＜A＜，6423∴＜cosA＜.22即2＜b＝2cosA＜3，故选A.]5．(2018·秦皇岛一模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ac

4、osB＋acosC＝b＋c，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形D[∵acosB＋acosC＝b＋c，a2＋c2－b2a2＋b2－c2∴a·＋a·＝b＋c，2ac2aba2＋c2－b2a2＋b2－c2∴＋＝b＋c，2c2bba2＋c2－b2＋ca2＋b2－c2∴＝b＋c，2bcb＋ca2－b2－c2＋2bc∴＝b＋c，2bc∴a2－b2－c2＋2bc＝2bc，∴a2＝b2＋c2，∴△ABC为直角三角形．]二、填空题6．(2019·南宁模拟)△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinB＝2sinC，2π且a＝14，A＝，则c＝_______

5、_.32[由sinB＝2sinC及正弦定理可得b＝2c，在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c21－2bccosA，则14＝4c2＋c2－4c2×－＝7c2，解得c＝2.]2b7．(2018·陕西二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝1a＋c→→sinC－，且b＝5，AC·AB＝5，则△ABC的面积是________．sinA＋sinB53bsinCbc[由＝1－及正弦定理，得＝1－，即b2＋c2－a2＝bc，2a＋csinA＋sinBa＋ca＋b→→b2＋c2－a21π5所以cosA＝＝，所以A＝.因为AC·AB＝bccosA＝c＝5，所以c＝2，所以

6、S2bc232△ABC11353＝bcsinA＝×5×2×＝.]22228．在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝53，CD＝5，BD＝2AD，则AD的长为________．5[在△ABC中，BD＝2AD，设AD＝x(x＞0)，则BD＝2x.在△BCD中，因为CD⊥BC，CDCD5＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝＝.在△ACD中，AD＝x，CD＝5，AC＝53，则cos∠ADCBD2xAD2＋CD2－AC2x2＋52－32＝＝.因为∠CDB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，2×AD×CD2×x×5x2＋52－325即＝－，解得x＝5，所以AD的长为5.]2×

7、x×52x三、解答题9．(2019·武昌模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2bcosC＝2a＋c.(1)求B；(2)若b＝2，a＋c＝5，求△ABC的面积．[解](1)由正弦定理，知2sinBcosC＝2sinA＋sinC，由A＋B＋C＝π，得2sinBcosC＝2sin(B＋C)＋sinC，化简，得2sinBcosC＝2(sinBcosC＋cosBsinC)＋sinC，即