2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训23正弦定理、余弦定理应用举例含解析

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1、课后限时集训(二十三)(建议用时:60分钟)A组 基础达标一、选择题1.如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东80°D.南偏西80°D [由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察

2、站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.akmB.akmC.akmD.2akmB [在△ABC中,AC=BC=a,∠ACB=120°,∴AB2=a2+a2-2a2cos120°=3a2,AB=a.]3.如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30m,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于()A.5mB.15mC.5mD.15mD [在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°.由正弦定理得=,解得

3、BC=15(m).在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15×=15(m).]4.(2019·重庆模拟)一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.10海里B.10海里C.20海里D.20海里A [如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ACB=45°,根据正弦定理得=,解得BC=10(海里).]5.如图

4、所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为(A.20海里B.40海里C.20(1+)海里D.40海里A [连接AB,由题意可知CD=40,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,∴∠CAD=45°,∠ADB=60°,在△ACD中,由正弦定理得=,∴AD=20,在Rt△BCD中,∵∠BDC=45°,∠BCD=90°

5、,∴BD=CD=40.在△ABD中,由余弦定理得AB==20.故选A.]二、填空题6.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上,则灯塔A在灯塔B的________的方向上.北偏西10° [由题意知∠ABC=(180°-80°)=50°,则灯塔A在灯塔B的北偏西10°的方向上.]7.(2019·衡水模拟)如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角,小王向前走

6、了1200m到达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,则电视塔CD的高度为________m.600 [在△ACM中,∠MCA=60°-15°=45°,∠AMC=180°-60°=120°,由正弦定理得=,即=,解得AC=600.在△ACD中,∵tan∠DAC==,∴DC=600×=600.]8.如图所示,小明同学在山顶A处观测到,一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100m,汽车从B点到C点历时14s,则这

7、辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1).参考数据:≈1.414,≈2.236.22.6 [由题意可得AB=200,AC=100,在△ABC中,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=105,则BC=100≈141.4×2.236,又历时14s,所以速度为≈22.6m/s.]三、解答题9.某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A,B,且AB长为80米,当航模在C处时,测得∠ABC=105°和∠BAC=30°,经过20秒后,

8、航模直线航行到D处,测得∠BAD=90°和∠ABD=45°.请你根据以上条件求出航模的速度.(答案可保留根号)[解] 在△ABD中,∵∠BAD=90°,∠ABD=45°,∴∠ADB=45°,∴AD=AB=80,∴BD=80.在△ABC中,=,∴BC===40.在△DBC中,DC2=DB2+BC2-2DB·BCcos60°=(80)2+(40)2-2×80×40×=9600.∴DC=40

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