2020版新一线高考理科数学一轮复习课后限时集训23正弦定理、余弦定理应用举例含解析

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1、课后限时集训(二十三)(建议用时：60分钟)A组　基础达标一、选择题1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D．南偏西80°D　[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察

2、站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.akmC.akmD．2akmB　[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝a.]3．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A．5mB．15mC．5mD．15mD　[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得＝，解得

3、BC＝15(m)．在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15(m)．]4．(2019·重庆模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里A　[如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．]5．如图

4、所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°，北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(A．20海里B．40海里C．20(1＋)海里D．40海里A　[连接AB，由题意可知CD＝40，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，∴∠CAD＝45°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得＝，∴AD＝20，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°

5、，∴BD＝CD＝40.在△ABD中，由余弦定理得AB＝＝20.故选A.]二、填空题6．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°的方向上，灯塔B在观察站C的南偏东60°的方向上，则灯塔A在灯塔B的________的方向上．北偏西10°　[由题意知∠ABC＝(180°－80°)＝50°，则灯塔A在灯塔B的北偏西10°的方向上．]7．(2019·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走

6、了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.600　[在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600.在△ACD中，∵tan∠DAC＝＝，∴DC＝600×＝600.]8．如图所示，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这

7、辆汽车的速度为________m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.22.6　[由题意可得AB＝200，AC＝100，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝105，则BC＝100≈141.4×2.236，又历时14s，所以速度为≈22.6m/s.]三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，

8、航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)[解]　在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.在△ABC中，＝，∴BC＝＝＝40.在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos60°＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9600.∴DC＝40