2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训31正弦定理余弦定理理含解析新人教版.doc

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1、课后限时集训(三十一)　正弦定理、余弦定理建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·大连测试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝(　　)A．B．±C．－D．D　[由正弦定理得＝，∴sinC＝＝＝.又AB＜AC，∴0＜C＜B＝60°，∴cosC＝＝.故选D．]2．(2020·南昌模拟)在△ABC中，已知C＝，b＝4，△ABC的面积为2，则c＝(　　)A．2B．2C．2D．B　[由S＝absinC＝2a×＝2，解得a＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝12，故c＝2.]3．对于△ABC，有如下命题，其中正确的是(　　)A．若sin2A＝sin2B，则△

2、ABC为等腰三角形B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形C．若sin2A＋sin2B＋cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为C　[对于A项，∵sin2A＝sin2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，即A＋B＝，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B项，∵sinA＝cosB，∴A－B＝或A＋B＝，∴△ABC不一定是直角三角形，故B错误；对于C项，sin2A＋sin2B＜1－cos2C＝sin2C，∴a2＋b2＜c2，∴△ABC为钝角三角形，C正确；对于D项，由正弦定理，得sinC＝＝，且AB＞AC，∴C＝60°或C＝12

3、0°，∴A＝90°或A＝30°，∴S△ABC＝AC·ABsinA＝或，D不正确．故选C．]4．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝(　　)A．B．C．D．A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝16＋9－2×4×3×＝9，AB＝3，所以cosB＝＝，故选A．]5．(2020·毕节模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，△ABC的周长为5＋，(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC，则△ABC的面积为(　　)A．B．C．D．C　[由题意可得：a＝，△ABC的周长为5＋，可得b＋c＝5

4、，因为(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC，由正弦定理及余弦定理可得：b2＋c2－a2＝bc＝2bccosA，因为A∈(0，π)，所以cosA＝，A＝，a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，所以10＝25－2bc－bc，所以bc＝5，所以S△ABC＝bcsinA＝×5×＝，故选C．]6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin2B＝bcosAcosB，则△ABC的形状是(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定B　[由asin2B＝bcosAcosB得sinAsin2B＝sinBcosAcosB，即sinB(cosAcosB－s

5、inAsinB)＝0，即sinBcos(A＋B)＝0，∵sinB≠0，∴cos(A＋B)＝0，又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，故选B．]二、填空题7．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝.1　[由a＝c得sinA＝sinC，即sin＝sinC，∴sinC＝，又0＜C＜，∴C＝，从而B＝，∴b＝c，因此＝1.]8．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝.　[∵bsinA＋acosB＝0，∴＝.由正弦定理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已

6、知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为．＋1　[∵b＝2，B＝，C＝，由正弦定理＝，得c＝＝＝2，A＝π－＝，∴sinA＝sin＝sincos＋cossin＝.则S△ABC＝bc·sinA＝×2×2×＝＋1.]三、解答题10．(2019·北京高考)在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．[解]　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×.因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×.解得c＝5.所以b＝7.(2)由cosB＝－得sinB＝.由正弦定理得sinC＝sinB＝.在△

7、ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角．所以cosC＝＝.所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.11．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cosA＝.(1)求A；(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．[解]　(1)由已知得sin2A＋cosA＝，即cos2A－cosA＋＝0.所以2＝0，cosA＝.由于0