2020版高考数学一轮复习课后限时集训22正弦定理和余弦定理含解析理.pdf

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1、课后限时集训(二十二)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形B[法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.a2＋c2－b2法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.]2ac2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．

2、有两解C．无解D．有解但解的个数不确定bcC[由正弦定理得＝，sinBsinC340×bsinC2∴sinB＝＝＝3＞1.c20∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．]3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝()A．1B．2C．3D．4A[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.]4．(2019·长春模拟)△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于()33A.B.24333C.或

3、3D.或224D[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，即1＝3＋BC2－3BC，解得BC＝1或BC＝2，1113当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB·BCsinB＝×3×1×＝.22241113当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB·BCsinB＝×3×2×＝.222233总上之，△ABC的面积等于或.]42π15．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝()433105310A.B.C.D.1010510aπaD[过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝.∵B＝，∴AD＝BD，∴BD＝AD＝，3432DC＝a，35aa

4、25a3∴AC＝2＋a2＝a，在△ABC中，由正弦定理得＝，333sin∠BACsin45°310∴sin∠BAC＝，故选D.]10二、填空题16．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sin4B，则c＝________.34[由3sinA＝2sinB及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cosC＝2a2＋b2－c2122＋32－c2，得－＝，解得c＝4.]2ab42×2×37．(2019·青岛模拟)如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC22＝，AB＝32，AD＝3，则BD的

5、长为________．3223[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，3∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，22∴BD2＝18＋9－2×32×3×＝3，3∴BD＝3.]8．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sinC＝4sinA，(ca＋cb)(sinA－sinB)＝sinC(27－c2)，则△ABC的面积为________．3[由a2sinC＝4sinA得ac＝4，由(ca＋cb)·(sinA－sinB)＝sinC(27－c2)得(a2731＋b)(a－b)＝27－c2，即a2＋c2－b2＝27，所以co

6、sB＝，则sinB＝，所以S＝acsin44△ABC23B＝.]2三、解答题9．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC.(1)若a＝b，求cosB；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．[解](1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.a2＋c2－b21由余弦定理可得cosB＝＝.2ac4(2)由(1)知b2＝2ac.因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝2.1所以△ABC的面积为×2×2＝1.210．(2019·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a

7、，b，c，且满足bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)．(1)求角B的大小；(2)若b＝4，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．[解](1)∵bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)，∴bcosA＝(2c＋a)(－cosB)．由正弦定理可得，sinBcosA＝(－2sinC－sinA)cosB，即sin(A＋B)＝－2sinCcosB＝sinC.1又角C为△ABC的内角，∴sinC＞0，∴cosB＝－.22π又B∈(