2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训32正弦定理余弦定理的综合应用理含解析新人教版.doc

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1、课后限时集训(三十二)　正弦定理、余弦定理的综合应用建议用时：40分钟一、选择题1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的(　　)A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B　[如图所示，由AC＝BC得∠CAB＝∠CBA＝45°.利用内错角相等可知，点A位于点B的北偏西15°，故选B．]2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底俯角分别为30°，60°，则塔高为(　　)A．mB．mC．mD．mA　[如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60

2、°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝120°，又AB＝200m，∴AC＝m.在△ACD中，由正弦定理，得＝，即DC＝＝(m)．]3．(2020·武昌区模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)A．6海里B．6海里C．8海里D．8海里A　[由题意可知：∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°－65°＝45°，∴∠ABC＝

3、180°－30°－45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12，在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，∴BC＝6，故选A．]4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A＋cos2B＝2cos2C，则cosC的最小值为(　　)A．B．C．D．－C　[因为cos2A＋cos2B＝2cos2C，所以1－2sin2A＋1－2sin2B＝2－4sin2C，得a2＋b2＝2c2，cosC＝＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，故选C．]5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a＋b－c)(a＋b＋c)＝3

4、ab，且c＝4，则△ABC面积的最大值为(　　)A．8B．4C．2D．B　[由已知等式得a2＋b2－c2＝ab，则cosC＝＝＝.由C∈(0，π)，所以sinC＝.又16＝c2＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，则ab≤16，所以S△ABC＝absinC≤×16×＝4.故Smax＝4.故选B．]6．(2020·贵州模拟)已知△ABC中，BC边上的中线AD＝3，BC＝4，∠BAC＝60°，则△ABC的周长为(　　)A．＋4B．4＋4C．5＋4D．2＋4A　[根据余弦定理：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝13－1

5、2cos∠ADB，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC＝13－12cos∠ADC，∴AB2＋AC2＝26，又BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝26－AB·AC＝16，∴AB·AC＝10，∴(AB＋AC)2＝AB2＋AC2＋2AB·AC＝26＋20＝46，所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝＋4，故选A．]二、填空题7．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时海里．10　

6、[如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，AC＝10，∠CAB＝60°，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．]8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asinB＝bcosA．若a＝4，则△ABC周长的最大值为．12　[由正弦定理＝，可将asinB＝bcosA转化为sinAsinB＝sinBcosA．又在△ABC中，sinB＞0，∴sinA＝cosA，即tanA＝.∵0＜A＜π，∴A＝.由于a＝4，由余弦定理得a2＝

7、b2＋c2－2bccosA，得16＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，又bc≤2，∴(b＋c)2≤64，即b＋c≤8，∴a＋b＋c≤12.]9.如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为．　[设AB＝a，∵AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，∴sinC＝＝.]三、解答题10．(2020·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为

8、a，b，c，设bsinA＝a(2＋cosB)．(1)求B；(2)若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．[解]　(1)因为bsinA＝a(2＋cosB)．由正弦定理得sinBsinA＝sinA(2＋cosB)．显