高中数学三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式二学案

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1、3．1.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一　两角和与差的正切公式思考1　怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案　tan(α＋β)＝＝，分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．思考2　由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案　用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．梳理名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(

2、α＋β)＝α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)知识点二　两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tanαtanβ＝1－.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)．tanαtanβ＝－1.1．对于

3、任意角α，β，总有tan(α＋β)＝.(　×　)提示　公式成立需α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z.2．使公式tan(α±β)＝有意义，只需α，β≠kπ＋(k∈Z)即可．(　×　)提示　还应使α±β≠kπ＋，k∈Z.3．若α，β，α＋β≠kπ＋，k∈Z，则tan(α＋β)＝tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)恒成立．(　√　)4．α≠kπ－，且α≠kπ＋，k∈Z时，tan＝.(　√　)类型一　正切公式的正用例1　(1)(2017·江苏)若tan＝，则tanα＝________.考点　两角和与差的正切公式题点　利用两角和与差的正切公

4、式求值答案　解析　方法一　∵tan＝＝＝.∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝.方法二　tanα＝tan＝＝＝.(2)设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为(　　)A．－3B．－1C．1D．3考点　两角和与差的正切公式题点　利用两角和与差的正切公式求值答案　A解析　由题意知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝＝＝－3.反思与感悟　(1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是Tα±β中的符号规律是“分子相同、分母

5、相反”．(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧．跟踪训练1　已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．考点　两角和与差的正切公式题点　利用两角和与差的正切公式求值答案　3解析　tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝3.类型二　正切公式的逆用与变形使用例2　(1)＝________.考点　两角和与差的正切公式题点　利用两角和与差的正切公式化简答案　解析　原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝.(2)化简：tan23°＋tan37°＋tan23°

6、tan37°.考点　两角和与差的正切公式题点　利用两角和与差的正切公式化简解　方法一　tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋tan23°tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋tan23°tan37°＝.方法二　∵tan(23°＋37°)＝，∴＝，∴－tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°，∴tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝.反思与感悟　两角和与差的正切公式有两种变形形式①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓

7、tanαtanβ)或②1∓tanα·tanβ＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练2　在△ABC中，A＋B≠，且tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则角C的值为(　　)A.B.C.D.考点　两角和与差的正切公式题点　利用两角和与差的正切公式求角答案　A解析　∵tanA＋tanB＋＝tanAtanB⇔tan(A＋B)·(1－tanAtanB)＝(tanAtanB－1)．(*)若1－tanAtanB＝0，则cosAcosB－sinAsinB

8、＝0，即cos(A＋B)＝0.∵0