3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)

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1、第2课时（一）导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式，并回忆公式的来龙去脉，然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征，说出它们的区别和联系，以及公式的正用、逆用及变形用，以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯，出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ;(2);(3)2.证明下列各式(1)(2)tan（α＋β）tan（α-β）（1-tan2ta

2、n2β）＝tan2α-tan2β;(3)[来源:Z&xx&k.Com]答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨，并对上节课所学的六个公式进行回顾复习，由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系，可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后，教师打出幻灯，出示和与差角公式，让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系，理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用，更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察，当α、β中有一

3、个角为90°时，公式就变成诱导公式，所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时，还要注意角的相对性，如α=(α+β)-β,等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识，学会数学方法，更重要的是学会发现问题的方法，以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯，提高数学素养.sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ〔Ｓ（α±β）〕;cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ〔C（α±β）〕;tan（α±β）＝〔T（α±β）〕.讨论结果：略.（三）应用示例思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°s

4、in42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°;[来源:学科网ZXXK]（3）活动：本例实际上是公式的逆用，主要用来熟悉公式，可由学生自己完成.对部分学生，教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点，再对比公式右边，马上发现（1）同公式S(α-β)的右边，（2）同公式C(α+β)右边形式一致，学生自然想到公式的逆用，从而化成特殊角的三角函数，并求得结果.再看（3）式与T(α+β)右边形式相近，但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1，原式化为，再逆用公式T(α+β)即可解得.解：（1）由公式S(α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin

5、30°=.（2）由公式C(α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.（3）由公式T(α+β)得原式==tan(45°+15°)=tan60°=.点评：本例体现了对公式的全面理解，要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°;（2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(

6、36°+x).解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=.（2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=.（3）原式=sin［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算解：原式==tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=.例2已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学

7、到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ),即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ.∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.∴sinx(sinθ+cosθ)=0对任意x都成立.∴sin(θ+)=0,即sin(θ+)=0.∴θ+=kπ(k∈Z).∴θ=kπ-(k